Calculatrice de nombres complexes

Comment utiliser la calculatrice de nombres complexes

1. Saisissez un nombre dans Nombre complexe z. Trois écritures sont possibles : la forme algébrique (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), la forme trigonométrique (5∠53,13° ou 2 cis 45) et la forme exponentielle (2e^(iπ/2)). Les électroniciens peuvent écrire j à la place de i, et la virgule décimale est acceptée (2,5-0,5i).
2. Choisissez l’Opération : Addition : z + w, Soustraction : z − w, Multiplication : z × w, Division : z ÷ w, Puissance : zⁿ, Racines n-ièmes de z ou Module, argument, conjugué et formes de z.
3. Remplissez le second champ. Son intitulé suit l’opération : Second nombre w pour les quatre opérations, Exposant n (réel ou complexe) pour les puissances, Indice de la racine n (1 à 100) pour les racines. Il disparaît si vous voulez seulement les propriétés de z.
4. Réglez l’Unité d’angle sur Degrés ou Radians. Elle sert à lire un angle saisi sans unité et à afficher tous les arguments.
5. Le résultat se met à jour pendant la saisie ; Calculer fait de même et affiche un message si une valeur est illisible. Copier copie le résultat, ou la liste complète des racines.

Sous le résultat s’affichent la forme algébrique, la forme trigonométrique, la forme exponentielle, le module, l’argument et le conjugué, puis un Calcul détaillé qui reprend chaque étape avec vos valeurs.

Les règles de calcul

Un nombre complexe z = a + ib a une partie réelle a et une partie imaginaire b, avec i² = −1.

• Somme et différence : on opère partie par partie, (a + ib) ± (c + id) = (a ± c) + i(b ± d).
• Produit : on développe puis on remplace i² par −1, (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc). Exemple : (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Quotient : on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui devient réel : (a + ib) / (c + id) = (a + ib)(c − id) / (c² + d²). Ainsi (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Module et argument : |z| = √(a² + b²) est la distance à l’origine, et l’argument θ = atan2(b, a) est l’angle avec l’axe des réels. L’outil donne l’argument principal, compris entre −180° et 180° (−π et π). L’argument de 0 n’est pas défini.
• Conjugué : z̄ = a − ib, symétrique de z par rapport à l’axe des réels. On a z × z̄ = |z|².

Forme trigonométrique et forme exponentielle

Tout complexe non nul s’écrit z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), avec r = |z|. Dans l’autre sens, a = r cos θ et b = r sin θ. La forme exponentielle utilise toujours les radians, car la formule d’Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ n’est vraie qu’en radians. Pour la saisie, vous pouvez imposer l’unité avec ° ou rad, ou utiliser π : 2∠π/2 vaut 2i quelle que soit l’unité choisie.

Puissances et racines n-ièmes

Pour un exposant entier, la formule de Moivre donne zⁿ = rⁿ∠(nθ) : on élève le module à la puissance n et on multiplie l’argument par n. L’outil calcule aussi le résultat par multiplications successives, si bien que (1 + i)⁸ donne exactement 16. Pour un exposant fractionnaire ou complexe, il utilise la détermination principale z^w = e^(w·Log z), avec Log z = ln r + iθ. C’est ainsi que i^i ≈ 0,2079 est un nombre réel.

Un complexe non nul possède exactement n racines n-ièmes distinctes. Elles ont toutes pour module ⁿ√r et pour arguments (θ + k × 360°) / n, pour k = 0 … n − 1 : elles forment un polygone régulier sur un cercle. Les racines cubiques de −8 sont 1 + 1,732i, −2 et 1 − 1,732i. La première (k = 0) est la racine principale.