Kalkulator kompleksnih brojeva

Kako koristiti kalkulator kompleksnih brojeva

1. Upiši broj u polje Kompleksni broj z. Možeš ga napisati u algebarskom obliku (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), u polarnom obliku (5∠53.13° ili 2 cis 45) ili u eksponencijalnom obliku (2e^(iπ/2)). Inženjeri mogu pisati j umjesto i.
2. Odaberi Operacija: Zbrajanje: z + w, Oduzimanje: z − w, Množenje: z × w, Dijeljenje: z ÷ w, Potenciranje: zⁿ, n-ti korijeni od z ili Modul, argument, konjugat i oblici broja z.
3. Ispuni drugo polje. Njegova oznaka ovisi o operaciji: Drugi broj w za četiri osnovne operacije, Eksponent n (realan ili kompleksan) za potenciranje i Stupanj korijena n (od 1 do 100) za korijene. Skriveno je kad želiš samo svojstva broja z.
4. Odaberi Jedinica kuta, Stupnjevi ili Radijani. Koristi se za polarni unos bez oznake jedinice i za svaki argument u rezultatima.
5. Rezultat se osvježava dok upisuješ; Izračunaj radi isto i prikazuje poruku ako se neki unos ne može pročitati. Kopiraj kopira rezultat ili cijeli popis korijena.

Ispod rezultata dobiješ algebarski, polarni i eksponencijalni oblik, modul, argument i konjugat, a zatim odjeljak Korak po korak koji ponavlja izračun s tvojim brojevima.

Pravila iza svake operacije

Kompleksni broj z = a + bi ima realni dio a i imaginarni dio b, pri čemu je i² = −1.

• Zbrajanje i oduzimanje rade se dio po dio: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Množenje razvija zagrade i zamjenjuje i² s −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Na primjer (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Dijeljenje množi brojnik i nazivnik konjugatom djelitelja, čime nazivnik postaje realan: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Dakle (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Modul i argument: |z| = √(a² + b²) je udaljenost od ishodišta, a argument θ = atan2(b, a) je kut s pozitivnom realnom osi. Alat daje glavni argument, između −180° i 180° (−π i π). Argument broja 0 nije definiran.
• Konjugat: z̄ = a − bi, zrcalna slika preko realne osi. z × z̄ = |z|².

Polarni i eksponencijalni oblik

Svaki kompleksni broj različit od nule može se napisati kao z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), pri čemu je r = |z|. Natrag se dolazi pomoću a = r cos θ i b = r sin θ. Eksponencijalni oblik uvijek koristi radijane, jer Eulerova formula e^(iθ) = cos θ + i sin θ vrijedi samo za θ u radijanima. Kod polarnog unosa jedinicu možeš odrediti oznakom ° ili rad, ili koristiti π: 2∠π/2 je 2i bez obzira na odabranu jedinicu.

Potencije i korijeni

Za cjelobrojni eksponent De Moivreova formula daje zⁿ = rⁿ∠(nθ): modul se potencira, a kut množi. Alat rezultat računa i uzastopnim množenjem, pa (1 + i)⁸ ispadne točno 16. Za razlomljeni ili kompleksni eksponent koristi glavnu granu z^w = e^(w·Log z), pri čemu je Log z = ln r + iθ. Tako je i^i ≈ 0,2079, realan broj.

Broj različit od nule ima točno n različitih n-tih korijena. Imaju isti modul ⁿ√r, a njihovi su kutovi (θ + k × 360°) / n za k = 0 … n − 1, pa su ravnomjerno raspoređeni po kružnici. Treći korijeni od −8 su 1 + 1,732i, −2 i 1 − 1,732i. Prvi (k = 0) je glavni korijen.