Calculadora de números complexos

Como usar a calculadora de números complexos

1. Escreve um número em Número complexo z. Podes escrevê-lo na forma algébrica (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), na forma trigonométrica (5∠53,13° ou 2 cis 45) ou na forma exponencial (2e^(iπ/2)). Quem vem da engenharia eletrotécnica pode escrever j em vez de i. Os decimais escrevem-se com vírgula (2,5-0,5j).
2. Escolhe a Operação: Somar: z + w, Subtrair: z − w, Multiplicar: z × w, Dividir: z ÷ w, Potência: zⁿ, Raízes de índice n de z ou Módulo, argumento, conjugado e formas de z.
3. Preenche o segundo campo. O nome dele acompanha a operação: Segundo número w nas quatro operações básicas, Expoente n (real ou complexo) nas potências e Índice da raiz n (1 a 100) nas raízes. Fica escondido quando só queres as propriedades de z.
4. Escolhe a Unidade de ângulo, Graus ou Radianos. É usada nas formas trigonométricas escritas sem símbolo de unidade e em todos os argumentos dos resultados.
5. O resultado atualiza-se enquanto escreves; Calcular faz o mesmo e mostra uma mensagem se uma entrada não puder ser lida. Copiar copia o resultado, ou a lista completa das raízes.

Por baixo do resultado tens a forma algébrica, a trigonométrica e a exponencial, o módulo, o argumento e o conjugado, seguidos de uma secção Passo a passo que refaz o cálculo com os teus números.

As regras de cada operação

Um número complexo z = a + bi tem uma parte real a e uma parte imaginária b, com i² = −1.

• Adição e subtração fazem-se parte a parte: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Multiplicação: desenvolve-se o produto e substitui-se i² por −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Por exemplo, (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Divisão: multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado do divisor, o que torna o denominador real: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Assim, (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Módulo e argumento: |z| = √(a² + b²) é a distância à origem, e o argumento θ = atan2(b, a) é o ângulo com o semieixo real positivo. A ferramenta dá o argumento principal, entre −180° e 180° (−π e π). O argumento de 0 é indefinido.
• Conjugado: z̄ = a − bi, a imagem refletida no eixo real. z × z̄ = |z|².

Forma trigonométrica e forma exponencial

Qualquer número complexo não nulo pode escrever-se z = r(cos θ + i sen θ) = r∠θ = r·e^(iθ), com r = |z|. No sentido inverso, a = r cos θ e b = r sen θ. A forma exponencial usa sempre radianos, porque a fórmula de Euler e^(iθ) = cos θ + i sen θ só é válida com θ em radianos. Ao escrever uma forma trigonométrica, podes impor a unidade com ° ou rad, ou usar π: 2∠π/2 é 2i seja qual for a unidade escolhida.

Potências e raízes

Para um expoente inteiro, a fórmula de De Moivre dá zⁿ = rⁿ∠(nθ): eleva-se o módulo à potência e multiplica-se o ângulo. A ferramenta também calcula o resultado por multiplicações sucessivas, por isso (1 + i)⁸ dá exatamente 16. Para um expoente fracionário ou complexo, usa o ramo principal z^w = e^(w·Log z), com Log z = ln r + iθ. É assim que i^i ≈ 0,2079, um número real.

Um número não nulo tem exatamente n raízes de índice n distintas. Todas têm o módulo ⁿ√r e os seus ângulos são (θ + k × 360°) / n para k = 0 … n − 1, por isso ficam igualmente espaçadas numa circunferência. As raízes cúbicas de −8 são 1 + 1,732i, −2 e 1 − 1,732i. A primeira (k = 0) é a raiz principal.