Kompleksu skaitļu kalkulators

Kā lietot kompleksu skaitļu kalkulatoru

1. Ierakstiet skaitli laukā Komplekss skaitlis z. To var rakstīt algebriskā formā (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), polārā formā (5∠53.13° vai 2 cis 45) vai eksponenciālā formā (2e^(iπ/2)). Inženieri imaginārās vienības vietā var rakstīt j.
2. Izvēlieties Darbība: Saskaitīšana: z + w, Atņemšana: z − w, Reizināšana: z × w, Dalīšana: z ÷ w, Kāpināšana: zⁿ, z n-tās kārtas saknes vai z modulis, arguments, saistītais skaitlis un formas.
3. Aizpildiet otro lauku. Tā nosaukums atbilst darbībai: Otrs skaitlis w četrām pamatdarbībām, Kāpinātājs n (reāls vai komplekss) kāpināšanai un Saknes kārta n (no 1 līdz 100) saknēm. Ja vēlaties tikai z īpašības, šis lauks ir paslēpts.
4. Izvēlieties Leņķa vienība, Grādi vai Radiāni. Tā tiek izmantota polārajai ievadei bez vienības zīmes un visiem argumentiem rezultātos.
5. Rezultāts atjaunojas rakstīšanas laikā; to pašu dara Aprēķināt, kas arī parāda ziņojumu, ja ierakstu nevar nolasīt. Kopēt nokopē rezultātu vai visu sakņu sarakstu.

Zem rezultāta redzamas algebriskā, polārā un eksponenciālā forma, modulis, arguments un saistītais skaitlis, bet pēc tam sadaļa Risinājums soli pa solim, kas atkārto aprēķinu ar jūsu skaitļiem.

Noteikumi aiz katras darbības

Komplekss skaitlis z = a + bi satur reālo daļu a un imagināro daļu b, kur i² = −1.

• Saskaitīšana un atņemšana notiek pa daļām: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Reizināšana izvērš iekavas un aizstāj i² ar −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Piemēram, (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Dalīšana reizina skaitītāju un saucēju ar dalītāja saistīto skaitli, un saucējs kļūst reāls: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Tātad (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Modulis un arguments: |z| = √(a² + b²) ir attālums līdz koordinātu sākumpunktam, bet arguments θ = atan2(b, a) ir leņķis ar pozitīvo reālo asi. Rīks dod galveno argumentu no −180° līdz 180° (no −π līdz π). Nulles arguments nav definēts.
• Saistītais skaitlis: z̄ = a − bi, spoguļattēls attiecībā pret reālo asi. z × z̄ = |z|².

Polārā un eksponenciālā forma

Jebkuru kompleksu skaitli, kas nav nulle, var uzrakstīt kā z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), kur r = |z|. Atpakaļ: a = r cos θ un b = r sin θ. Eksponenciālajā formā vienmēr izmanto radiānus, jo Eilera formula e^(iθ) = cos θ + i sin θ ir spēkā tikai tad, ja θ ir radiānos. Polārajai ievadei vienību var norādīt ar ° vai rad, vai izmantot π: 2∠π/2 ir 2i neatkarīgi no izvēlētās vienības.

Kāpināšana un saknes

Veselam kāpinātājam Muavra formula dod zⁿ = rⁿ∠(nθ): modulis tiek kāpināts, bet leņķis – reizināts. Rīks rezultātu aprēķina arī ar atkārtotu reizināšanu, tāpēc (1 + i)⁸ iznāk tieši 16. Daļskaitļa vai kompleksam kāpinātājam tiek izmantots galvenais zars z^w = e^(w·Log z), kur Log z = ln r + iθ. Tā i^i ≈ 0,2079, un tas ir reāls skaitlis.

Skaitlim, kas nav nulle, ir tieši n dažādas n-tās kārtas saknes. Tām ir vienāds modulis ⁿ√r, un to leņķi ir (θ + k × 360°) / n, kur k = 0 … n − 1, tāpēc tās vienmērīgi izvietotas uz riņķa līnijas. Skaitļa −8 kubsaknes ir 1 + 1,732i, −2 un 1 − 1,732i. Pirmā (k = 0) ir galvenā sakne.