Kalkulator liczb zespolonych

Jak korzystać z kalkulatora liczb zespolonych

1. Wpisz liczbę w pole Liczba zespolona z. Możesz użyć postaci algebraicznej (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), biegunowej (5∠53,13° lub 2 cis 45) albo wykładniczej (2e^(iπ/2)). Elektrycy mogą pisać j zamiast i. Część dziesiętną oddzielasz przecinkiem (2,5-0,5i); kropka też jest akceptowana.
2. Wybierz Działanie: Dodawanie: z + w, Odejmowanie: z − w, Mnożenie: z × w, Dzielenie: z ÷ w, Potęga: zⁿ, Pierwiastki n-tego stopnia z z albo Moduł, argument, sprzężenie i postacie z.
3. Wypełnij drugie pole. Jego etykieta zależy od działania: Druga liczba w dla czterech działań podstawowych, Wykładnik n (rzeczywisty lub zespolony) dla potęg i Stopień pierwiastka n (od 1 do 100) dla pierwiastków. Gdy chcesz tylko poznać własności z, pole jest ukryte.
4. Wybierz Jednostka kąta: Stopnie lub Radiany. Jest ona używana dla postaci biegunowej wpisanej bez symbolu jednostki i dla każdego argumentu w wynikach.
5. Wynik aktualizuje się podczas pisania; Oblicz robi to samo i wyświetla komunikat, jeśli któregoś wpisu nie da się odczytać. Kopiuj kopiuje wynik albo całą listę pierwiastków.

Pod wynikiem znajdziesz postać algebraiczną, biegunową i wykładniczą, moduł, argument i sprzężenie, a dalej sekcję Krok po kroku, która powtarza obliczenia z twoimi liczbami.

Zasady stojące za każdym działaniem

Liczba zespolona z = a + bi ma część rzeczywistą a i część urojoną b, gdzie i² = −1.

• Dodawanie i odejmowanie wykonuje się osobno dla każdej części: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Mnożenie polega na wymnożeniu nawiasów i zastąpieniu i² przez −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Na przykład (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Dzielenie mnoży licznik i mianownik przez sprzężenie dzielnika, dzięki czemu mianownik staje się rzeczywisty: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Zatem (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Moduł i argument: |z| = √(a² + b²) to odległość od początku układu, a argument θ = atan2(b, a) to kąt z dodatnią półosią rzeczywistą. Narzędzie podaje argument główny, między −180° a 180° (−π i π). Argument liczby 0 jest nieokreślony.
• Sprzężenie: z̄ = a − bi, czyli odbicie względem osi rzeczywistej. z × z̄ = |z|².

Postać biegunowa (trygonometryczna) i wykładnicza

Każdą niezerową liczbę zespoloną można zapisać jako z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), gdzie r = |z|. W drugą stronę: a = r cos θ i b = r sin θ. Postać wykładnicza zawsze używa radianów, bo wzór Eulera e^(iθ) = cos θ + i sin θ jest prawdziwy tylko dla θ w radianach. Przy wpisywaniu postaci biegunowej możesz wymusić jednostkę symbolem ° lub rad albo użyć π: 2∠π/2 to 2i niezależnie od wybranej jednostki.

Potęgi i pierwiastki

Dla wykładnika całkowitego wzór de Moivre’a daje zⁿ = rⁿ∠(nθ): moduł podnosi się do potęgi, a kąt mnoży. Narzędzie liczy też wynik przez wielokrotne mnożenie, więc (1 + i)⁸ wychodzi dokładnie 16. Dla wykładnika ułamkowego lub zespolonego używana jest gałąź główna z^w = e^(w·Log z), gdzie Log z = ln r + iθ. Dlatego i^i ≈ 0,2079, czyli liczba rzeczywista.

Niezerowa liczba ma dokładnie n różnych pierwiastków n-tego stopnia. Mają wspólny moduł ⁿ√r, a ich kąty wynoszą (θ + k × 360°) / n dla k = 0 … n − 1, więc leżą równomiernie na okręgu. Pierwiastki trzeciego stopnia z −8 to 1 + 1,732i, −2 oraz 1 − 1,732i. Pierwszy z nich (k = 0) to pierwiastek główny.