Calculator de numere complexe

Cum folosești calculatorul de numere complexe

1. Scrie un număr în Numărul complex z. Îl poți scrie în forma algebrică (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), în forma polară (5∠53,13° sau 2 cis 45) sau în forma exponențială (2e^(iπ/2)). Inginerii pot scrie j în loc de i.
2. Alege Operația: Adunare: z + w, Scădere: z − w, Înmulțire: z × w, Împărțire: z ÷ w, Putere: zⁿ, Rădăcinile de ordin n ale lui z sau Modulul, argumentul, conjugatul și formele lui z.
3. Completează al doilea câmp. Eticheta lui depinde de operație: Al doilea număr w pentru cele patru operații de bază, Exponentul n (real sau complex) pentru puteri și Ordinul radicalului n (de la 1 la 100) pentru rădăcini. Câmpul este ascuns când vrei doar proprietățile lui z.
4. Alege Unitatea unghiului, Grade sau Radiani. Se folosește pentru intrarea polară fără simbol de unitate și pentru toate argumentele din rezultate.
5. Rezultatul se actualizează pe măsură ce scrii; Calculează face același lucru și afișează un mesaj dacă o intrare nu poate fi citită. Copiază copiază rezultatul sau întreaga listă de rădăcini.

Sub rezultat primești forma algebrică, cea polară și cea exponențială, modulul, argumentul și conjugatul, urmate de secțiunea Pas cu pas, care repetă calculul cu numerele tale. Zecimalele se scriu cu virgulă (2,5); și punctul este acceptat.

Regulile din spatele fiecărei operații

Un număr complex z = a + bi are partea reală a și partea imaginară b, unde i² = −1.

• Adunarea și scăderea se fac pe părți: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Înmulțirea desface parantezele și înlocuiește i² cu −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. De exemplu (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Împărțirea înmulțește numărătorul și numitorul cu conjugatul împărțitorului, ceea ce face numitorul real: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Deci (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Modulul și argumentul: |z| = √(a² + b²) este distanța până la origine, iar argumentul θ = atan2(b, a) este unghiul făcut cu semiaxa reală pozitivă. Instrumentul dă argumentul principal, cuprins între −180° și 180° (−π și π). Argumentul lui 0 este nedefinit.
• Conjugatul: z̄ = a − bi, imaginea în oglindă față de axa reală. z × z̄ = |z|².

Forma polară și forma exponențială

Orice număr complex nenul se poate scrie z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), cu r = |z|. Pentru drumul invers, a = r cos θ și b = r sin θ. Forma exponențială folosește mereu radiani, pentru că formula lui Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ este adevărată doar cu θ în radiani. La intrarea polară poți impune unitatea cu ° sau rad ori poți folosi π: 2∠π/2 este 2i indiferent de unitatea aleasă.

Puteri și rădăcini

Pentru un exponent întreg, formula lui De Moivre dă zⁿ = rⁿ∠(nθ): ridici modulul la putere și înmulțești unghiul. Instrumentul calculează rezultatul și prin înmulțiri repetate, așa că (1 + i)⁸ iese exact 16. Pentru un exponent fracționar sau complex folosește ramura principală z^w = e^(w·Log z), cu Log z = ln r + iθ. Așa se obține i^i ≈ 0,2079, un număr real.

Un număr nenul are exact n rădăcini distincte de ordin n. Ele au același modul ⁿ√r, iar unghiurile lor sunt (θ + k × 360°) / n pentru k = 0 … n − 1, deci sunt așezate uniform pe un cerc. Rădăcinile cubice ale lui −8 sunt 1 + 1,732i, −2 și 1 − 1,732i. Prima (k = 0) este rădăcina principală.