Beregner til komplekse tal

Sådan bruger du beregneren til komplekse tal

1. Indtast et tal i Komplekst tal z. Du kan skrive det i rektangulær form (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), i polarform (5∠53,13° eller 2 cis 45) eller i eksponentiel form (2e^(iπ/2)). Ingeniører kan skrive j i stedet for i. Decimaltal skrives med komma (2,5-0,5i); et punktum virker også.
2. Vælg Regneart: Addition: z + w, Subtraktion: z − w, Multiplikation: z × w, Division: z ÷ w, Potens: zⁿ, n’te rødder af z eller Modulus, argument, konjugeret og former af z.
3. Udfyld det andet felt. Dets navn følger regnearten: Andet tal w til de fire regnearter, Eksponent n (reel eller kompleks) til potenser og Rodeksponent n (1 til 100) til rødder. Feltet er skjult, når du kun vil have z’s egenskaber.
4. Vælg Vinkelenhed, Grader eller Radianer. Den bruges til polær indtastning uden enhedstegn og til hvert argument i resultaterne.
5. Resultatet opdateres, mens du skriver; Beregn gør det samme og viser en besked, hvis en indtastning ikke kan læses. Kopiér kopierer resultatet eller hele listen af rødder.

Under resultatet får du den rektangulære, den polære og den eksponentielle form, modulus, argument og den konjugerede, efterfulgt af et afsnit Trin for trin, der gentager udregningen med dine tal.

Reglerne bag hver regneart

Et komplekst tal z = a + bi har en realdel a og en imaginærdel b, hvor i² = −1.

• Addition og subtraktion sker del for del: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Multiplikation ganger parenteserne ud og erstatter i² med −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. For eksempel er (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Division ganger tæller og nævner med divisorens konjugerede, så nævneren bliver reel: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Dermed er (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Modulus og argument: |z| = √(a² + b²) er afstanden fra origo, og argumentet θ = atan2(b, a) er vinklen med den positive reelle akse. Værktøjet giver hovedargumentet, mellem −180° og 180° (−π og π). Argumentet for 0 er udefineret.
• Konjugeret: z̄ = a − bi, spejlbilledet i den reelle akse. z × z̄ = |z|².

Polarform og eksponentiel form

Ethvert komplekst tal forskelligt fra nul kan skrives z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), hvor r = |z|. Den modsatte vej er a = r cos θ og b = r sin θ. Den eksponentielle form bruger altid radianer, fordi Eulers formel e^(iθ) = cos θ + i sin θ kun gælder med θ i radianer. Ved polær indtastning kan du fastlægge enheden med ° eller rad eller bruge π: 2∠π/2 er 2i, uanset hvilken enhed der er valgt.

Potenser og rødder

Ved et helt tal som eksponent giver De Moivres formel zⁿ = rⁿ∠(nθ): opløft modulus i potensen og gang vinklen med n. Værktøjet beregner også resultatet ved gentagen multiplikation, så (1 + i)⁸ bliver præcis 16. Ved en brøk eller en kompleks eksponent bruges hovedgrenen z^w = e^(w·Log z), hvor Log z = ln r + iθ. Sådan bliver i^i ≈ 0,2079, et reelt tal.

Et tal forskelligt fra nul har præcis n forskellige n’te rødder. De har samme modulus ⁿ√r, og deres vinkler er (θ + k × 360°) / n for k = 0 … n − 1, så de ligger jævnt fordelt på en cirkel. Tredjerødderne af −8 er 1 + 1,732i, −2 og 1 − 1,732i. Den første (k = 0) er hovedroden.

Alt regnes lokalt i din browser. Intet, du indtaster, sendes til en server.