Kalkulačka komplexních čísel

Jak používat kalkulačku komplexních čísel

1. Do pole Komplexní číslo z napiš číslo. Můžeš ho zapsat v algebraickém tvaru (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), v goniometrickém tvaru (5∠53,13° nebo 2 cis 45) nebo v exponenciálním tvaru (2e^(iπ/2)). Inženýři mohou místo i psát j.
2. Vyber Operaci: Sčítání: z + w, Odčítání: z − w, Násobení: z × w, Dělení: z ÷ w, Mocnina: zⁿ, n-té odmocniny z čísla z nebo Modul, argument, číslo komplexně sdružené a tvary čísla z.
3. Vyplň druhé pole. Jeho popisek se řídí operací: Druhé číslo w pro čtyři základní operace, Exponent n (reálný nebo komplexní) pro mocniny a Stupeň odmocniny n (1 až 100) pro odmocniny. Pokud chceš jen vlastnosti čísla z, pole se skryje.
4. Zvol Jednotku úhlu, Stupně nebo Radiány. Používá se pro goniometrický vstup bez značky jednotky a pro všechny argumenty ve výsledcích.
5. Výsledek se přepočítává už při psaní; tlačítko Vypočítat dělá totéž a zobrazí zprávu, pokud nelze některý vstup přečíst. Tlačítkem Kopírovat zkopíruješ výsledek, případně celý seznam odmocnin.

Pod výsledkem najdeš algebraický, goniometrický a exponenciální tvar, modul, argument a číslo komplexně sdružené, a poté část Postup, která výpočet zopakuje s tvými čísly.

Nástroj funguje ve tvém prohlížeči. Nic, co zadáš, se neodesílá na server.

Pravidla jednotlivých operací

Komplexní číslo z = a + bi má reálnou část a a imaginární část b, kde i² = −1.

• Sčítání a odčítání probíhá po částech: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Násobení roznásobí závorky a nahradí i² číslem −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Například (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Dělení vynásobí čitatele i jmenovatele číslem komplexně sdruženým k děliteli, čímž se jmenovatel stane reálným: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Takže (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Modul a argument: |z| = √(a² + b²) je vzdálenost od počátku a argument θ = atan2(b, a) je úhel s kladnou reálnou osou. Nástroj uvádí hlavní hodnotu argumentu, tedy mezi −180° a 180° (−π a π). Argument čísla 0 není definován.
• Číslo komplexně sdružené: z̄ = a − bi, obraz čísla z v osové souměrnosti podle reálné osy. Platí z × z̄ = |z|².

Goniometrický a exponenciální tvar

Každé nenulové komplexní číslo lze zapsat jako z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), kde r = |z|. Zpět se vrátíš pomocí a = r cos θ a b = r sin θ. Exponenciální tvar vždy používá radiány, protože Eulerův vzorec e^(iθ) = cos θ + i sin θ platí jen pro θ v radiánech. U goniometrického vstupu můžeš jednotku určit pomocí ° nebo rad, případně použít π: 2∠π/2 je 2i bez ohledu na zvolenou jednotku.

Mocniny a odmocniny

Pro celočíselný exponent dává Moivreova věta zⁿ = rⁿ∠(nθ): modul umocníš a úhel vynásobíš. Nástroj výsledek počítá také opakovaným násobením, takže (1 + i)⁸ vyjde přesně 16. Pro zlomkový nebo komplexní exponent používá hlavní větev z^w = e^(w·Log z), kde Log z = ln r + iθ. Právě tak vychází i^i ≈ 0,2079, tedy reálné číslo.

Nenulové číslo má právě n různých n-tých odmocnin. Mají společný modul ⁿ√r a jejich úhly jsou (θ + k × 360°) / n pro k = 0 … n − 1, takže leží rovnoměrně na kružnici. Třetí odmocniny z čísla −8 jsou 1 + 1,732i, −2 a 1 − 1,732i. První z nich (k = 0) je hlavní odmocnina.