Kalkulator Bilangan Kompleks

Q: Bagaimana cara mengetik satuan imajiner?

Gunakan i atau j, sebelum atau sesudah angka: 4i, i4, 4 i, dan 4j berarti sama. i saja berarti 1i dan −i berarti −1i. Spasi diperbolehkan di sekitar + dan −, tetapi “3 4i” ditolak karena tanda operasinya hilang.

Q: Mengapa hasilnya menampilkan 0, bukan angka yang sangat kecil?

Aritmetika floating point meninggalkan jejak seperti 6,1 × 10⁻¹⁷ saat menghitung cos 90°. Alat ini membuang bagian yang dapat diabaikan dibandingkan besar bilangannya dan menampilkan hingga 10 angka signifikan, sehingga 5∠90° tampil sebagai 5i.

Q: Rentang berapa yang dipakai untuk argumen?

Argumen utama, dalam −180°, 180° atau −π, π . Bilangan pada sumbu real negatif, seperti −1, memiliki argumen 180° π . Rentang lain, seperti 0° sampai 360°, hanya berbeda satu putaran penuh.

Q: Seberapa presisi hasilnya?

Perhitungan memakai bilangan presisi ganda sekitar 15–16 angka signifikan dan ditampilkan dengan 10 angka. Itu lebih dari cukup untuk tugas kuliah dan teknik elektro, tetapi bukan aljabar simbolik yang eksak: √3 ditampilkan sebagai 1,732050808.

Kalkulator Bilangan Kompleks

Kalkulator bilangan kompleks online dengan langkah. Jumlah, kurang, kali, bagi, pangkat, semua akar ke-n, modulus, argumen, dan bentuk polar.

Bilangan kompleks z Operasi Bilangan kedua w Satuan sudut

Format yang diterima: 3+4i, 4i+3, -2i, i, 5, 2,5-0,5j (rektangular), 5∠53,13° atau 2 cis 45 (polar, sudut dalam satuan yang dipilih, atau dengan ° atau π), 2e^(iπ/2) (eksponensial).

Hasil

–

Bentuk rektangular a + bi: –
Bentuk polar r∠θ: –
Bentuk eksponensial r·e^(iθ), θ dalam radian: –
Modulus |z|: –
Argumen θ: –
Sekawan (konjugat): –

Langkah demi langkah

Cara memakai kalkulator bilangan kompleks

Ketik bilangan di Bilangan kompleks z. Anda bisa menulisnya dalam bentuk rektangular (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), bentuk polar (5∠53,13° atau 2 cis 45), atau bentuk eksponensial (2e^(iπ/2)). Para insinyur boleh menulis j sebagai pengganti i.
Pilih Operasi: Penjumlahan: z + w, Pengurangan: z − w, Perkalian: z × w, Pembagian: z ÷ w, Pangkat: zⁿ, Akar ke-n dari z, atau Modulus, argumen, sekawan, dan bentuk-bentuk z.
Isi kolom kedua. Labelnya mengikuti operasi: Bilangan kedua w untuk empat operasi dasar, Pangkat n (real atau kompleks) untuk perpangkatan, dan Derajat akar n (1 sampai 100) untuk akar. Kolom ini disembunyikan jika Anda hanya ingin sifat-sifat z.
Pilih Satuan sudut, Derajat atau Radian. Satuan ini dipakai untuk masukan polar tanpa simbol satuan dan untuk setiap argumen di hasil.
Hasil diperbarui saat Anda mengetik; Hitung melakukan hal yang sama dan menampilkan pesan jika ada entri yang tidak dapat dibaca. Salin menyalin hasilnya, atau seluruh daftar akar.

Di bawah hasil, Anda mendapatkan bentuk rektangular, polar, dan eksponensial, modulus, argumen, dan sekawan, disusul bagian Langkah demi langkah yang mengulang perhitungan dengan angka Anda. Desimal ditulis dengan koma (2,5), dan titik juga diterima.

Aturan di balik setiap operasi

Bilangan kompleks z = a + bi memiliki bagian real a dan bagian imajiner b, dengan i² = −1.

Penjumlahan dan pengurangan dilakukan bagian demi bagian: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
Perkalian menjabarkan tanda kurung dan mengganti i² dengan −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Misalnya (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
Pembagian mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari pembagi, sehingga penyebutnya menjadi real: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Jadi (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²) adalah jarak dari titik asal, dan argumen θ = atan2(b, a) adalah sudut terhadap sumbu real positif. Alat ini memberikan argumen utama, antara −180° dan 180° (−π dan π). Argumen dari 0 tidak terdefinisi.
Sekawan (konjugat): z̄ = a − bi, bayangan cermin terhadap sumbu real. z × z̄ = |z|².

Bentuk polar dan eksponensial

Setiap bilangan kompleks bukan nol dapat ditulis z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), dengan r = |z|. Untuk kembali, a = r cos θ dan b = r sin θ. Bentuk eksponensial selalu memakai radian, karena rumus Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ hanya berlaku dengan θ dalam radian. Untuk masukan polar, Anda dapat memaksa satuannya dengan ° atau rad, atau memakai π: 2∠π/2 adalah 2i apa pun satuan yang dipilih.

Pangkat dan akar

Untuk pangkat bilangan bulat, rumus De Moivre memberikan zⁿ = rⁿ∠(nθ): pangkatkan modulusnya dan kalikan sudutnya. Alat ini juga menghitung hasilnya dengan perkalian berulang, sehingga (1 + i)⁸ keluar tepat 16. Untuk pangkat pecahan atau kompleks, alat ini memakai cabang utama z^w = e^(w·Log z), dengan Log z = ln r + iθ. Dengan cara itulah i^i ≈ 0,2079, sebuah bilangan real.

Bilangan bukan nol memiliki tepat n akar ke-n yang berbeda. Semuanya memiliki modulus ⁿ√r yang sama dan sudutnya (θ + k × 360°) / n untuk k = 0 … n − 1, sehingga tersebar merata pada sebuah lingkaran. Akar pangkat tiga dari −8 adalah 1 + 1,732i, −2, dan 1 − 1,732i. Yang pertama (k = 0) adalah akar utama.

Pertanyaan yang sering diajukan

Bagaimana cara mengetik satuan imajiner?

Gunakan i atau j, sebelum atau sesudah angka: 4i, i4, 4*i, dan 4j berarti sama. i saja berarti 1i dan −i berarti −1i. Spasi diperbolehkan di sekitar + dan −, tetapi “3 4i” ditolak karena tanda operasinya hilang.

Mengapa hasilnya menampilkan 0, bukan angka yang sangat kecil?

Aritmetika floating-point meninggalkan jejak seperti 6,1 × 10⁻¹⁷ saat menghitung cos 90°. Alat ini membuang bagian yang dapat diabaikan dibandingkan besar bilangannya dan menampilkan hingga 10 angka signifikan, sehingga 5∠90° tampil sebagai 5i.

Rentang berapa yang dipakai untuk argumen?

Argumen utama, dalam (−180°, 180°] atau (−π, π]. Bilangan pada sumbu real negatif, seperti −1, memiliki argumen 180° (π). Rentang lain, seperti 0° sampai 360°, hanya berbeda satu putaran penuh.

Mengapa (−8)^(1/3) tidak sama dengan −2?

Dengan pangkat bukan bilangan bulat, alat ini mengembalikan nilai utama e^(w·Log z), yang untuk −8 adalah 1 + 1,732i. Akar pangkat tiga real −2 adalah salah satu dari tiga akar yang ditampilkan oleh Akar ke-n dari z dengan n = 3.

Berapa hasil 0 pangkat 0?

Alat ini mengikuti konvensi umum 0⁰ = 1. Pangkat negatif dari nol, atau pangkat kompleks yang bagian realnya tidak positif, dilaporkan sebagai tidak terdefinisi.

Seberapa presisi hasilnya?

Perhitungan memakai bilangan presisi ganda (sekitar 15–16 angka signifikan) dan ditampilkan dengan 10 angka. Itu lebih dari cukup untuk tugas kuliah dan teknik elektro, tetapi bukan aljabar simbolik yang eksak: √3 ditampilkan sebagai 1,732050808.

Semua akar