Rechner für komplexe Zahlen

So nutzen Sie den Rechner für komplexe Zahlen

1. Geben Sie unter Komplexe Zahl z eine Zahl ein – in kartesischer Form (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), in Polarform (5∠53,13° oder 2 cis 45) oder in Exponentialform (2e^(iπ/2)). In der Elektrotechnik üblich: Statt i dürfen Sie auch j schreiben. Dezimalzahlen schreiben Sie mit Komma (2,5).
2. Wählen Sie die Rechenart: Addieren: z + w, Subtrahieren: z − w, Multiplizieren: z × w, Dividieren: z ÷ w, Potenz: zⁿ, n-te Wurzeln von z oder Betrag, Argument, Konjugierte und Darstellungsformen von z.
3. Füllen Sie das zweite Feld aus. Seine Beschriftung richtet sich nach der Rechenart: Zweite Zahl w bei den vier Grundrechenarten, Exponent n (reell oder komplex) beim Potenzieren und Wurzelexponent n (1 bis 100) bei den Wurzeln. Wollen Sie nur die Eigenschaften von z sehen, ist es ausgeblendet.
4. Wählen Sie die Winkeleinheit, Grad oder Bogenmaß. Sie gilt für Polareingaben ohne Einheitenzeichen und für jedes Argument in den Ergebnissen.
5. Das Ergebnis wird schon beim Tippen aktualisiert; Berechnen bewirkt dasselbe und meldet, wenn eine Eingabe nicht gelesen werden kann. Kopieren kopiert das Ergebnis oder die gesamte Liste der Wurzeln.

Unter dem Ergebnis sehen Sie die kartesische Form, die Polarform und die Exponentialform, den Betrag, das Argument und die Konjugierte, gefolgt vom Abschnitt Schritt für Schritt, der die Rechnung mit Ihren Zahlen nachvollzieht.

Die Regeln hinter jeder Rechenart

Eine komplexe Zahl z = a + bi hat den Realteil a und den Imaginärteil b, wobei i² = −1 gilt.

• Addition und Subtraktion erfolgen getrennt nach Real- und Imaginärteil: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Multiplikation: Klammern ausmultiplizieren und i² durch −1 ersetzen: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Beispiel: (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Division: Zähler und Nenner mit der Konjugierten des Divisors erweitern, damit der Nenner reell wird: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Also (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Betrag und Argument: |z| = √(a² + b²) ist der Abstand vom Ursprung, das Argument θ = atan2(b, a) der Winkel zur positiven reellen Achse. Das Tool gibt den Hauptwert des Arguments zwischen −180° und 180° (−π und π) an. Das Argument von 0 ist nicht definiert.
• Konjugierte: z̄ = a − bi, das Spiegelbild an der reellen Achse. Es gilt z × z̄ = |z|².

Polarform und Exponentialform

Jede komplexe Zahl ungleich null lässt sich als z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ) schreiben, mit r = |z|. Zurück gilt a = r cos θ und b = r sin θ. Die Exponentialform verwendet immer das Bogenmaß, denn die Eulersche Formel e^(iθ) = cos θ + i sin θ gilt nur mit θ im Bogenmaß. Bei Polareingaben können Sie die Einheit mit ° oder rad erzwingen oder π verwenden: 2∠π/2 ist 2i, unabhängig von der gewählten Einheit.

Potenzen und Wurzeln

Für ganzzahlige Exponenten liefert die Formel von de Moivre zⁿ = rⁿ∠(nθ): Betrag potenzieren, Winkel vervielfachen. Das Tool berechnet das Ergebnis zusätzlich durch wiederholte Multiplikation, sodass (1 + i)⁸ genau 16 ergibt. Für gebrochene oder komplexe Exponenten nutzt es den Hauptzweig z^w = e^(w·Log z) mit Log z = ln r + iθ. So ergibt sich i^i ≈ 0,2079 – eine reelle Zahl.

Eine Zahl ungleich null hat genau n verschiedene n-te Wurzeln. Sie haben alle den Betrag ⁿ√r, ihre Winkel sind (θ + k × 360°) / n für k = 0 … n − 1; sie liegen also gleichmäßig verteilt auf einem Kreis. Die dritten Wurzeln von −8 sind 1 + 1,732i, −2 und 1 − 1,732i. Die erste (k = 0) ist der Hauptwert.