Calculadora de números complejos

Cómo usar la calculadora de números complejos

1. Escribe un número en Número complejo z. Puedes usar la forma binómica (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), la forma polar (5∠53.13° o 2 cis 45) o la forma exponencial (2e^(iπ/2)). Si vienes de la ingeniería, puedes escribir j en lugar de i. Los decimales admiten punto o coma: 2.5-0.5i y 2,5-0,5i son el mismo número.
2. Elige la Operación: Sumar: z + w, Restar: z − w, Multiplicar: z × w, Dividir: z ÷ w, Potencia: zⁿ, Raíces n-ésimas de z o Módulo, argumento, conjugado y formas de z.
3. Rellena el segundo campo. Su etiqueta cambia según la operación: Segundo número w para las cuatro operaciones básicas, Exponente n (real o complejo) para las potencias e Índice de la raíz n (de 1 a 100) para las raíces. Se oculta cuando solo quieres las propiedades de z.
4. Elige la Unidad de ángulo, Grados o Radianes. Se aplica a los ángulos polares escritos sin símbolo de unidad y a todos los argumentos del resultado.
5. El resultado se actualiza mientras escribes; Calcular hace lo mismo y muestra un mensaje si algún dato no se puede leer. Copiar copia el resultado o la lista completa de raíces.

Debajo del resultado verás la forma binómica, la polar y la exponencial, el módulo, el argumento y el conjugado, seguidos de una sección Paso a paso que repite el cálculo con tus números.

Las reglas de cada operación

Un número complejo z = a + bi tiene una parte real a y una parte imaginaria b, con i² = −1.

• Suma y resta: se opera parte por parte: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Multiplicación: se desarrollan los paréntesis y se sustituye i² por −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Por ejemplo, (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• División: se multiplican numerador y denominador por el conjugado del divisor, lo que deja un denominador real: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Así, (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Módulo y argumento: |z| = √(a² + b²) es la distancia al origen, y el argumento θ = atan2(b, a) es el ángulo con el semieje real positivo. La herramienta da el argumento principal, entre −180° y 180° (−π y π). El argumento de 0 no está definido.
• Conjugado: z̄ = a − bi, el simétrico respecto al eje real. Se cumple z × z̄ = |z|².

Forma polar y forma exponencial

Todo número complejo distinto de cero se puede escribir como z = r(cos θ + i sen θ) = r∠θ = r·e^(iθ), con r = |z|. Para volver a la forma binómica, a = r cos θ y b = r sen θ. La forma exponencial usa siempre radianes, porque la fórmula de Euler e^(iθ) = cos θ + i sen θ solo es válida con θ en radianes. En la entrada polar puedes forzar la unidad con ° o rad, o usar π: 2∠π/2 es 2i sea cual sea la unidad elegida.

Potencias y raíces

Con un exponente entero, la fórmula de De Moivre da zⁿ = rⁿ∠(nθ): se eleva el módulo a la potencia y se multiplica el ángulo. La herramienta también calcula el resultado por multiplicaciones sucesivas, de modo que (1 + i)⁸ sale exactamente 16. Con un exponente fraccionario o complejo, usa la rama principal z^w = e^(w·Log z), con Log z = ln r + iθ. Por eso i^i ≈ 0,2079, un número real.

Un número distinto de cero tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas. Todas comparten el módulo ⁿ√r y sus ángulos son (θ + k × 360°) / n para k = 0 … n − 1, así que quedan repartidas de forma regular sobre una circunferencia. Las raíces cúbicas de −8 son 1 + 1,732i, −2 y 1 − 1,732i. La primera (k = 0) es la raíz principal.