Komplex számok számológép

Hogyan használd a komplex számok számológépét

1. Írj be egy számot a z komplex szám mezőbe. Megadhatod algebrai alakban (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), polár- vagy trigonometrikus alakban (5∠53,13° vagy 2 cis 45), illetve exponenciális alakban (2e^(iπ/2)). A műszaki területen megszokott j is használható i helyett.
2. Válaszd ki a Művelet típusát: Összeadás: z + w, Kivonás: z − w, Szorzás: z × w, Osztás: z ÷ w, Hatványozás: zⁿ, z n-edik gyökei, vagy z abszolút értéke, argumentuma, konjugáltja és alakjai.
3. Töltsd ki a második mezőt. A felirata a művelethez igazodik: Második szám (w) a négy alapműveletnél, n kitevő (valós vagy komplex) hatványozásnál és Gyökkitevő n (1–100) gyökvonásnál. Ha csak z tulajdonságaira vagy kíváncsi, a mező rejtve marad.
4. Állítsd be a Szög mértékegysége mezőben a Fok vagy a Radián értéket. Ezt használja a mértékegységjel nélküli polár bemenet, és ebben jelennek meg az eredmények argumentumai is.
5. Az eredmény gépelés közben frissül; a Számítás gomb ugyanezt teszi, és üzenetet ad, ha valamelyik bevitel nem olvasható. A Másolás gomb az eredményt vagy a gyökök teljes listáját másolja.

Az eredmény alatt megkapod az algebrai, a polár- és az exponenciális alakot, az abszolút értéket, az argumentumot és a konjugáltat, utána pedig a Lépésről lépésre rész megismétli a számítást a te számaiddal.

Az egyes műveletek szabályai

Az z = a + bi komplex számnak a a valós, b pedig a képzetes része, ahol i² = −1.

• Az összeadás és kivonás tagonként történik: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• A szorzás felbontja a zárójeleket, és az i²-et −1-gyel helyettesíti: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Például (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Az osztásnál a számlálót és a nevezőt az osztó konjugáltjával szorozzuk, így a nevező valós lesz: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Tehát (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Abszolút érték és argumentum: |z| = √(a² + b²) a számnak az origótól mért távolsága, a θ = atan2(b, a) argumentum pedig a pozitív valós tengellyel bezárt szög. Az eszköz a főértéket adja, −180° és 180° (−π és π) között. A 0 argumentuma nem értelmezett.
• Konjugált: z̄ = a − bi, a valós tengelyre vett tükörkép. z × z̄ = |z|².

Polár- és exponenciális alak

Minden nullától különböző komplex szám felírható z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ) alakban, ahol r = |z|. Visszafelé a = r cos θ és b = r sin θ. Az exponenciális alak mindig radiánt használ, mert az Euler-képlet, e^(iθ) = cos θ + i sin θ, csak radiánban megadott θ-ra igaz. Polár bemenetnél a mértékegységet a ° vagy a rad jellel kikényszerítheted, vagy használhatod a π-t: a 2∠π/2 a kiválasztott mértékegységtől függetlenül 2i.

Hatványok és gyökök

Egész kitevőnél a De Moivre-képlet adja meg: zⁿ = rⁿ∠(nθ), vagyis az abszolút értéket hatványozzuk, a szöget pedig szorozzuk. Az eszköz ismételt szorzással is kiszámítja az eredményt, így az (1 + i)⁸ pontosan 16. Tört vagy komplex kitevőnél a főágat használja: z^w = e^(w·Log z), ahol Log z = ln r + iθ. Így lesz az i^i ≈ 0,2079, azaz valós szám.

Egy nullától különböző számnak pontosan n különböző n-edik gyöke van. Közös az abszolút értékük, ⁿ√r, a szögeik pedig (θ + k × 360°) / n, ahol k = 0 … n − 1, tehát egyenletesen helyezkednek el egy körön. A −8 köbgyökei 1 + 1,732i, −2 és 1 − 1,732i. Az első (k = 0) a főgyök.