Kalkulator numrash kompleksë

Si përdoret kalkulatori i numrave kompleksë

1. Shkruaj një numër te Numri kompleks z. Mund ta shkruash në formë drejtkëndore (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), në formë polare (5∠53.13° ose 2 cis 45) ose në formë eksponenciale (2e^(iπ/2)). Inxhinierët mund të shkruajnë j në vend të i.
2. Zgjidh Veprimi: Mbledhje: z + w, Zbritje: z − w, Shumëzim: z × w, Pjesëtim: z ÷ w, Fuqi: zⁿ, Rrënjët e rendit n të z, ose Moduli, argumenti, i konjuguari dhe format e z.
3. Plotëso fushën e dytë. Etiketa e saj ndjek veprimin: Numri i dytë w për katër veprimet themelore, Eksponenti n (real ose kompleks) për fuqitë dhe Rendi i rrënjës n (1 deri 100) për rrënjët. Fshihet kur të duhen vetëm vetitë e z.
4. Zgjidh Njësia e këndit, Gradë ose Radianë. Përdoret për hyrjet polare pa simbol njësie dhe për çdo argument në rezultate.
5. Rezultati përditësohet ndërsa shkruan; Llogarit bën të njëjtën gjë dhe shfaq një mesazh nëse një hyrje nuk lexohet. Kopjo kopjon rezultatin, ose të gjithë listën e rrënjëve.

Nën rezultat merr format drejtkëndore, polare dhe eksponenciale, modulin, argumentin dhe të konjuguarin, e pas tyre pjesën Hap pas hapi që e përsërit llogaritjen me numrat e tu.

Rregullat pas çdo veprimi

Një numër kompleks z = a + bi ka pjesën reale a dhe pjesën imagjinare b, ku i² = −1.

• Mbledhja dhe zbritja bëhen pjesë për pjesë: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Shumëzimi zhvillon kllapat dhe zëvendëson i² me −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Për shembull (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Pjesëtimi shumëzon numëruesin dhe emëruesin me të konjuguarin e pjesëtuesit, që e bën emëruesin real: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Pra (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Moduli dhe argumenti: |z| = √(a² + b²) është largësia nga origjina, dhe argumenti θ = atan2(b, a) është këndi me boshtin real pozitiv. Mjeti jep argumentin kryesor, midis −180° dhe 180° (−π dhe π). Argumenti i 0 është i papërcaktuar.
• I konjuguari: z̄ = a − bi, pasqyrimi përmes boshtit real. z × z̄ = |z|².

Format polare dhe eksponenciale

Çdo numër kompleks jozero mund të shkruhet z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), me r = |z|. Kthimi mbrapsht: a = r cos θ dhe b = r sin θ. Forma eksponenciale përdor gjithmonë radianë, sepse formula e Ojlerit e^(iθ) = cos θ + i sin θ vlen vetëm me θ në radianë. Për hyrjet polare mund ta detyrosh njësinë me ° ose rad, ose të përdorësh π: 2∠π/2 është 2i, pavarësisht njësisë së zgjedhur.

Fuqitë dhe rrënjët

Për eksponent të plotë, formula e De Moivre-it jep zⁿ = rⁿ∠(nθ): ngre modulin në fuqi dhe shumëzo këndin. Mjeti e llogarit rezultatin edhe me shumëzim të përsëritur, kështu (1 + i)⁸ del saktësisht 16. Për eksponent thyesor ose kompleks përdor degën kryesore z^w = e^(w·Log z), me Log z = ln r + iθ. Kështu i^i ≈ 0.2079, një numër real.

Një numër jozero ka saktësisht n rrënjë të ndryshme të rendit n. Ato kanë modulin ⁿ√r dhe këndet e tyre janë (θ + k × 360°) / n për k = 0 … n − 1, pra ndodhen të shpërndara në mënyrë të barabartë mbi një rreth. Rrënjët kubike të −8 janë 1 + 1.732i, −2 dhe 1 − 1.732i. E para (k = 0) është rrënja kryesore.