Kalkulator kompleksnih brojeva

Kako se koristi kalkulator kompleksnih brojeva

1. Upiši broj u polje Kompleksan broj z. Možeš ga napisati u algebarskom obliku (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), u polarnom obliku (5∠53,13° ili 2 cis 45) ili u eksponencijalnom obliku (2e^(iπ/2)). Inženjeri mogu pisati j umesto i.
2. Izaberi Operacija: Sabiranje: z + w, Oduzimanje: z − w, Množenje: z × w, Deljenje: z ÷ w, Stepen: zⁿ, n-ti koreni broja z ili Modul, argument, konjugovan broj i oblici broja z.
3. Popuni drugo polje. Njegova oznaka zavisi od operacije: Drugi broj w za četiri osnovne operacije, Izložilac n (realan ili kompleksan) za stepenovanje i Stepen korena n (od 1 do 100) za korene. Sakriveno je kada želiš samo svojstva broja z.
4. Izaberi Jedinica ugla, Stepeni ili Radijani. Koristi se za polarni unos bez oznake jedinice i za svaki argument u rezultatima.
5. Rezultat se ažurira dok kucaš; Izračunaj radi isto i prikazuje poruku ako se neki unos ne može pročitati. Kopiraj kopira rezultat, ili celu listu korena.

Ispod rezultata dobijaš algebarski, polarni i eksponencijalni oblik, modul, argument i konjugovan broj, a zatim odeljak Korak po korak koji ponavlja račun sa tvojim brojevima. Decimale piši zarezom (2,5).

Pravila iza svake operacije

Kompleksan broj z = a + bi ima realni deo a i imaginarni deo b, gde je i² = −1.

• Sabiranje i oduzimanje rade se deo po deo: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Množenje razvija zagrade i menja i² sa −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Na primer (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Deljenje množi brojilac i imenilac konjugovanim brojem delioca, čime imenilac postaje realan: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Dakle (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Modul i argument: |z| = √(a² + b²) je rastojanje od koordinatnog početka, a argument θ = atan2(b, a) je ugao sa pozitivnom realnom osom. Alat daje glavni argument, između −180° i 180° (−π i π). Argument nule nije definisan.
• Konjugovan broj: z̄ = a − bi, lik u ogledalu u odnosu na realnu osu. z × z̄ = |z|².

Polarni i eksponencijalni oblik

Svaki kompleksan broj različit od nule može se napisati kao z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), gde je r = |z|. Unazad, a = r cos θ i b = r sin θ. Eksponencijalni oblik uvek koristi radijane, jer Ojlerova formula e^(iθ) = cos θ + i sin θ važi samo kada je θ u radijanima. Kod polarnog unosa jedinicu možeš nametnuti sa ° ili rad, ili koristiti π: 2∠π/2 je 2i bez obzira na izabranu jedinicu.

Stepeni i koreni

Za ceo izložilac Moavrova formula daje zⁿ = rⁿ∠(nθ): modul se stepenuje, a ugao množi. Alat rezultat računa i uzastopnim množenjem, pa (1 + i)⁸ daje tačno 16. Za razlomljen ili kompleksan izložilac koristi glavnu granu z^w = e^(w·Log z), gde je Log z = ln r + iθ. Tako je i^i ≈ 0,2079, realan broj.

Broj različit od nule ima tačno n različitih n-tih korena. Svi imaju isti modul ⁿ√r, a uglovi su im (θ + k × 360°) / n za k = 0 … n − 1, pa su ravnomerno raspoređeni na kružnici. Kubni koreni broja −8 su 1 + 1,732i, −2 i 1 − 1,732i. Prvi (k = 0) je glavni koren.