Calculadora de nombres complexos

Com fer servir la calculadora de nombres complexos

1. Escriu un nombre a Nombre complex z. El pots escriure en forma binòmica (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), en forma polar (5∠53.13° o 2 cis 45) o en forma exponencial (2e^(iπ/2)). Els enginyers poden escriure j en lloc d’i.
2. Tria l’Operació: Suma: z + w, Resta: z − w, Producte: z × w, Divisió: z ÷ w, Potència: zⁿ, Arrels n-èsimes de z, o Mòdul, argument, conjugat i formes de z.
3. Omple el segon camp. L’etiqueta depèn de l’operació: Segon nombre w per a les quatre operacions bàsiques, Exponent n (real o complex) per a les potències i Índex de l’arrel n (d‘1 a 100) per a les arrels. Es queda amagat quan només vols les propietats de z.
4. Escull la Unitat de l’angle, Graus o Radians. S’utilitza per a l’entrada polar sense símbol d’unitat i per a tots els arguments dels resultats.
5. El resultat s’actualitza mentre escrius; Calcula fa el mateix i mostra un missatge si no es pot llegir alguna entrada. Copia copia el resultat, o tota la llista d’arrels.

Sota el resultat, obtens les formes binòmica, polar i exponencial, el mòdul, l’argument i el conjugat, seguits d’una secció Pas a pas que repeteix el càlcul amb els teus números.

Les regles de cada operació

Un nombre complex z = a + bi té una part real a i una part imaginària b, on i² = −1.

• Suma i resta es fan part per part: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Producte: es desenvolupen els parèntesis i es substitueix i² per −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Per exemple, (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Divisió: es multipliquen numerador i denominador pel conjugat del divisor, cosa que fa real el denominador: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Així, (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Mòdul i argument: |z| = √(a² + b²) és la distància a l’origen, i l’argument θ = atan2(b, a) és l’angle amb el semieix real positiu. L’eina dona l’argument principal, entre −180° i 180° (−π i π). L’argument de 0 no està definit.
• Conjugat: z̄ = a − bi, la imatge especular respecte de l’eix real. z × z̄ = |z|².

Formes polar i exponencial

Tot nombre complex diferent de zero es pot escriure z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), amb r = |z|. Per tornar enrere, a = r cos θ i b = r sin θ. La forma exponencial fa servir sempre radians, perquè la fórmula d’Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ només és certa amb θ en radians. A l’entrada polar pots forçar la unitat amb ° o rad, o fer servir π: 2∠π/2 és 2i sigui quina sigui la unitat seleccionada.

Potències i arrels

Per a un exponent enter, la fórmula de De Moivre dona zⁿ = rⁿ∠(nθ): s’eleva el mòdul a la potència i es multiplica l’angle. L’eina també calcula el resultat per multiplicació repetida, de manera que (1 + i)⁸ surt exactament 16. Per a un exponent fraccionari o complex, fa servir la branca principal z^w = e^(w·Log z), amb Log z = ln r + iθ. Així s’obté i^i ≈ 0,2079, un nombre real.

Un nombre diferent de zero té exactament n arrels n-èsimes diferents. Comparteixen el mòdul ⁿ√r i els seus angles són (θ + k × 360°) / n per a k = 0 … n − 1, de manera que queden repartides uniformement sobre una circumferència. Les arrels cúbiques de −8 són 1 + 1,732i, −2 i 1 − 1,732i. La primera (k = 0) és l’arrel principal.