Calcolatrice di numeri complessi

Come usare la calcolatrice di numeri complessi

1. Scrivi un numero in Numero complesso z. Puoi usare la forma algebrica (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), la forma polare (5∠53,13° o 2 cis 45) o la forma esponenziale (2e^(iπ/2)). Se sei abituato all’elettrotecnica, puoi scrivere j al posto di i.
2. Scegli l’Operazione: Somma: z + w, Differenza: z − w, Prodotto: z × w, Quoziente: z ÷ w, Potenza: zⁿ, Radici n-esime di z oppure Modulo, argomento, coniugato e forme di z.
3. Compila il secondo campo. La sua etichetta cambia con l’operazione: Secondo numero w per le quattro operazioni di base, Esponente n (reale o complesso) per le potenze e Indice della radice n (da 1 a 100) per le radici. Il campo è nascosto se ti servono solo le proprietà di z.
4. Scegli l’Unità dell’angolo, Gradi o Radianti. Vale per gli angoli in forma polare scritti senza simbolo di unità e per tutti gli argomenti nei risultati.
5. Il risultato si aggiorna mentre scrivi; Calcola fa lo stesso e mostra un messaggio se un valore non è leggibile. Copia copia il risultato, oppure l’intero elenco delle radici.

Sotto il risultato trovi la forma algebrica, polare ed esponenziale, il modulo, l’argomento e il coniugato, seguiti dalla sezione Passo dopo passo, che ripete il calcolo con i tuoi numeri. I decimali si scrivono con la virgola (2,5).

Le regole di ogni operazione

Un numero complesso z = a + bi ha una parte reale a e una parte immaginaria b, dove i² = −1.

• Somma e differenza si fanno parte per parte: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Prodotto: si sviluppano le parentesi e si sostituisce i² con −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Ad esempio (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Quoziente: si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del divisore, così il denominatore diventa reale: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Quindi (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Modulo e argomento: |z| = √(a² + b²) è la distanza dall’origine, e l’argomento θ = atan2(b, a) è l’angolo con il semiasse reale positivo. Lo strumento dà l’argomento principale, tra −180° e 180° (−π e π). L’argomento di 0 non è definito.
• Coniugato: z̄ = a − bi, il simmetrico rispetto all’asse reale. z × z̄ = |z|².

Forma polare ed esponenziale

Ogni numero complesso diverso da zero si può scrivere z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), con r = |z|. Per tornare indietro, a = r cos θ e b = r sin θ. La forma esponenziale usa sempre i radianti, perché la formula di Eulero e^(iθ) = cos θ + i sin θ vale solo con θ in radianti. In forma polare puoi imporre l’unità con ° o rad, oppure usare π: 2∠π/2 è 2i qualunque sia l’unità selezionata.

Potenze e radici

Con un esponente intero, la formula di De Moivre dà zⁿ = rⁿ∠(nθ): si eleva il modulo alla potenza e si moltiplica l’angolo. Lo strumento calcola il risultato anche con moltiplicazioni ripetute, quindi (1 + i)⁸ esce esattamente 16. Con un esponente frazionario o complesso usa il ramo principale z^w = e^(w·Log z), con Log z = ln r + iθ. È così che i^i ≈ 0,2079, un numero reale.

Un numero diverso da zero ha esattamente n radici n-esime distinte. Hanno tutte modulo ⁿ√r e angoli (θ + k × 360°) / n per k = 0 … n − 1, quindi si dispongono in modo regolare su una circonferenza. Le radici cubiche di −8 sono 1 + 1,732i, −2 e 1 − 1,732i. La prima (k = 0) è la radice principale.