Kompleksarvude kalkulaator

Kuidas kompleksarvude kalkulaatorit kasutada

1. Sisesta arv väljale Kompleksarv z. Võid selle kirjutada algebralisel kujul (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), polaarkujul (5∠53.13° või 2 cis 45) või eksponentkujul (2e^(iπ/2)). Inseneridele sobib i asemel ka j.
2. Vali Tehe: Liitmine: z + w, Lahutamine: z − w, Korrutamine: z × w, Jagamine: z ÷ w, Astendamine: zⁿ, Arvu z n-ndat järku juured või Arvu z moodul, argument, kaaskompleksarv ja kujud.
3. Täida teine väli. Selle silt sõltub tehtest: Teine arv w nelja põhitehte jaoks, Astendaja n (reaalne või kompleksne) astendamiseks ja Juure astendaja n (1 kuni 100) juurte jaoks. Kui soovid vaid arvu z omadusi, on see väli peidetud.
4. Vali Nurgaühik, Kraadid või Radiaanid. Seda kasutatakse ühiku märgita polaarkujul sisendi puhul ja kõigi tulemuses esinevate argumentide jaoks.
5. Tulemus uueneb sisestamise ajal; nupp Arvuta teeb sama ning annab teate, kui mõnda sisestust ei saa lugeda. Kopeeri kopeerib tulemuse või kogu juurte loendi.

Tulemuse all näed algebralist kuju, polaarkuju ja eksponentkuju, moodulit, argumenti ja kaaskompleksarvu, seejärel jaotist Samm-sammult, mis kordab arvutust sinu arvudega.

Iga tehte taga olevad reeglid

Kompleksarvul z = a + bi on reaalosa a ja imaginaarosa b, kusjuures i² = −1. Kümnendmurruna võid sisendis kasutada nii koma kui ka punkti, näiteks 2,5 või 2.5.

• Liitmine ja lahutamine toimuvad osade kaupa: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Korrutamisel avatakse sulud ja i² asendatakse −1-ga: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Näiteks (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Jagamisel korrutatakse lugeja ja nimetaja jagaja kaaskompleksarvuga, mis teeb nimetaja reaalseks: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Seega (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Moodul ja argument: |z| = √(a² + b²) on kaugus nullpunktist ja argument θ = atan2(b, a) on nurk positiivse reaaltelje suhtes. Tööriist annab peamise argumendi vahemikus −180° kuni 180° (−π kuni π). Nulli argument on määramata.
• Kaaskompleksarv: z̄ = a − bi, peegelpilt reaaltelje suhtes. z × z̄ = |z|².

Polaarkuju ja eksponentkuju

Iga nullist erineva kompleksarvu saab kirjutada kujul z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), kus r = |z|. Tagasi minnes a = r cos θ ja b = r sin θ. Eksponentkuju kasutab alati radiaane, sest Euleri valem e^(iθ) = cos θ + i sin θ kehtib ainult radiaanides esitatud θ korral. Polaarkujul sisendi puhul võid ühiku kindlaks määrata märgiga ° või rad või kasutada π-d: 2∠π/2 on 2i olenemata valitud ühikust.

Astmed ja juured

Täisarvulise astendaja korral annab De Moivre’i valem zⁿ = rⁿ∠(nθ): astenda moodul ja korruta nurk. Tööriist arvutab tulemuse ka korduva korrutamisega, nii et (1 + i)⁸ tuleb täpselt 16. Murd- või kompleksastendaja korral kasutatakse peamist haru z^w = e^(w·Log z), kus Log z = ln r + iθ. Nii saadaksegi i^i ≈ 0,2079, mis on reaalarv.

Nullist erineval arvul on täpselt n erinevat n-ndat järku juurt. Neil on ühine moodul ⁿ√r ja nurgad (θ + k × 360°) / n, kus k = 0 … n − 1, seega paiknevad need ühtlaselt ringjoonel. Arvu −8 kuupjuured on 1 + 1,732i, −2 ja 1 − 1,732i. Esimene neist (k = 0) on peamine juur.