Volumenrechner
Kostenloser Volumenrechner für 12 Körper von Würfel und Zylinder bis Kegel, Pyramide und Kegelstumpf – exakt mit π, mit Oberfläche und Litern.
Alle Längen in der gewählten Einheit. Dezimalzahlen wie 2,5 sind möglich. Das Volumen wird in Kubikeinheiten, die Oberfläche in Quadrateinheiten angegeben.
- Volumen
- –
- Oberfläche
- –
- Fassungsvermögen in Litern
- –
Schritt für Schritt
Volumen in anderen Einheiten
| Einheit | Volumen |
|---|
So nutzen Sie den Volumenrechner
- Wählen Sie unter Körper die Form: Würfel, Quader, Zylinder, Kugel, Halbkugel, Kegel, Quadratische Pyramide, Rechteckige Pyramide, Dreiecksprisma, Kegelstumpf, Kapsel oder Ellipsoid.
- Wählen Sie die Längeneinheit Ihrer Maße: Millimeter, Zentimeter, Meter, Kilometer, Zoll, Fuß, Yard oder Meilen.
- Tragen Sie die Maße in die angezeigten Felder ein. Jedes Feld zeigt den in der Formel verwendeten Buchstaben, etwa Radius (r) oder Höhe (h). Dezimalzahlen wie 2,5 sind möglich.
- Volumen, Oberfläche und Fassungsvermögen in Litern werden beim Tippen aktualisiert; Berechnen bewirkt dasselbe. Leeren leert die Felder, und Kopieren kopiert das Volumen.
- Unter Schritt für Schritt finden Sie die Formel, die Formel mit Ihren eingesetzten Werten, gegebenenfalls die benötigte Mantellinie und die Berechnung der Oberfläche. Über dem Rechenweg wird eine Skizze des Körpers gezeichnet, mit beschrifteten Maßen und gestrichelten verdeckten Kanten.
- Öffnen Sie Volumen in anderen Einheiten, um dasselbe Volumen in mm³, cm³, m³, km³, in³, ft³, yd³, Millilitern, Litern, US-Flüssigunzen, US-Gallonen und britischen Gallonen abzulesen.
Die Ergebnisse bleiben wenn möglich exakt. Eine Kugel mit Radius 3 hat das Volumen 36π, angezeigt zusammen mit dem Dezimalwert ≈ 113,1. Ein Kegel mit Radius 1 und Höhe 1 hat die Oberfläche (1 + √2)π. Hat ein Wert keine kurze exakte Form, wird nur die Dezimalzahl angezeigt.
Formeln für Volumen und Oberfläche
| Körper | Volumen | Oberfläche |
|---|---|---|
| Würfel (Kante a) | V = a³ | S = 6a² |
| Quader (l, w, h) | V = l × w × h | S = 2(lw + lh + wh) |
| Zylinder (r, h) | V = π × r² × h | S = 2πr(r + h) |
| Kugel (r) | V = 4/3 × π × r³ | S = 4πr² |
| Halbkugel (r) | V = 2/3 × π × r³ | S = 3πr² (Kuppel + ebene Grundfläche) |
| Kegel (r, h) | V = 1/3 × π × r² × h | S = πr² + πrs, s = √(r² + h²) |
| Quadratische Pyramide (a, h) | V = 1/3 × a² × h | S = a² + 2as, s = √(h² + (a/2)²) |
| Rechteckige Pyramide (l, w, h) | V = 1/3 × l × w × h | S = lw + l·s₁ + w·s₂ |
| Dreiecksprisma (b, h, L) | V = 1/2 × b × h × L | erfordert die drei Seiten |
| Kegelstumpf (R, r, h) | V = 1/3 × π × h × (R² + R·r + r²) | S = π(R² + r² + (R + r)s) |
| Kapsel (r, a) | V = π × r² × (4/3 × r + a) | S = 2πr(2r + a) |
| Ellipsoid (a, b, c) | V = 4/3 × π × a × b × c | Näherung |
Die Buchstaben entsprechen denen in den Feldern und im Rechenweg: w steht für die Breite (englisch width), S für die Oberfläche (surface).
Die Höhe wird immer senkrecht zur Grundfläche gemessen, nicht entlang einer schrägen Seite. Bei Kegel und Pyramide heißt die Länge entlang der schrägen Fläche Mantellinie bzw. Seitenhöhe s; das Tool leitet sie mit dem Satz des Pythagoras aus der Höhe ab und zeigt sie im Rechenweg, weil die Oberfläche von ihr abhängt.
Bei einer Kapsel (einem Zylinder mit einer Halbkugel an jedem Ende) ist a nur die Länge des geraden Zylinderteils, nicht die Gesamtlänge. Die Gesamtlänge beträgt a + 2r.
Für die Oberfläche eines Ellipsoids gibt es keine elementare Formel. Dieses Tool verwendet die Näherung nach Knud Thomsen, S ≈ 4π((aᵖbᵖ + aᵖcᵖ + bᵖcᵖ)/3)^(1/p) mit p = 1,6075, die höchstens etwa 1,1 % vom wahren Wert abweicht. Sind alle drei Halbachsen gleich, ist das Ellipsoid eine Kugel, und es wird die exakte Formel 4πa² verwendet.
Vom Volumen zum Fassungsvermögen
Ein Volumen in Kubikeinheiten wird mit wenigen festen Beziehungen zum Fassungsvermögen: 1 l = 1 dm³ = 1.000 cm³ und 1 m³ = 1.000 l. Eine US-Gallone sind genau 3,785411784 l, eine britische Gallone dagegen 4,54609 l, also etwa 20 % mehr – prüfen Sie daher immer, welche Gallone ein Rezept oder ein Datenblatt meint. Ein Kubikfuß fasst etwa 28,3 l.
Weil das Volumen mit der dritten Potenz der Länge wächst, verachtfacht sich das Volumen, wenn man alle Maße verdoppelt. Derselbe Effekt macht Einheitenumrechnungen überraschend: 1 m³ sind 1.000.000 cm³, nicht 100.
Beispiele
- Ein zylindrischer Wassertank mit 1,2 m Durchmesser (Radius 0,6 m) und 1,5 m Höhe: 0,54π ≈ 1,696 m³, also etwa 1.696 l.
- Ein Basketball mit Radius 12 cm: 2.304π ≈ 7.238 cm³, gut 7 l Luft.
- Ein Aquarium mit 30 × 20 × 15 cm: 9.000 cm³, genau 9 l.
- Ein Lampenschirm in Form eines Kegelstumpfs mit den Radien 15 und 10 cm und 20 cm Höhe: etwa 9.948 cm³.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Volumen und Fassungsvermögen?
Das Volumen ist der Raum, den ein Körper einnimmt, in Kubikeinheiten wie cm³ oder m³. Das Fassungsvermögen gibt an, wie viel ein Behälter aufnimmt, meist in Litern. Bei einem dünnwandigen Behälter ist es dieselbe Menge in anderer Einheit; für das Fassungsvermögen verwenden Sie die Innenmaße.
Warum enthält das Ergebnis π oder eine Wurzel?
Das Tool behält den exakten Wert, wenn es einen gibt, etwa 36π oder (9 + 3√10)π – die Form, die in Mathematikaufgaben erwartet wird. Für praktische Messungen verwenden Sie die Dezimalzahl nach dem ≈-Zeichen.
Warum fehlt beim Dreiecksprisma die Oberfläche?
Grundseite und Höhe des Dreiecks liefern seine Fläche und damit das Volumen, aber nicht die Längen der beiden anderen Seiten, die für die rechteckigen Seitenflächen nötig sind. Kennen Sie diese Seiten, addieren Sie die Flächen separat.
Wie berechne ich das Volumen eines unregelmäßigen Gegenstands?
Zerlegen Sie ihn in einfache Körper (Quader, Zylinder, Kegel), berechnen Sie jedes Volumen in derselben Einheit und addieren Sie sie; Hohlräume ziehen Sie ab. Bei einem kleinen festen Gegenstand können Sie auch die verdrängte Wassermenge messen.
Ist die Oberfläche der Halbkugel mit oder ohne Grundfläche?
Mit Grundfläche: 2πr² für die gewölbte Kuppel plus πr² für die ebene Kreisfläche, insgesamt 3πr². Für die Kuppel allein nehmen Sie zwei Drittel des Ergebnisses.
Ist die Skizze maßstabsgetreu?
Weitgehend. Sehr ungleiche Maße werden mit einem auf 3 zu 1 begrenzten Verhältnis gezeichnet, damit die Beschriftungen lesbar bleiben, und die Tiefe wird in Schrägbildperspektive dargestellt. Die Berechnungen verwenden immer Ihre echten Werte.
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