Розв’язування лінійних рівнянь і систем

Як розв’язати систему рівнянь за допомогою цього інструмента

1. Введіть рівняння в поле Рівняння (по одному в рядку), наприклад 2x + 3y = 7 і x − y = 1. Невідомими можуть бути будь-які літери (x, y, z, a, b…) або імена на кшталт x1 і x2. Коефіцієнти можуть бути цілими, десятковими (0,5) чи дробами (1/2 або (1/2)x), а вільні члени можуть стояти з обох боків: 3x + 4 = 2x − 1 працює.
2. Відповідь з’являється, поки ви вводите. Кнопка Розв’язати робить те саме, Приклад завантажує класичну систему 3 × 3, Очистити спорожняє все, а Копіювати копіює розв’язок.
3. Віддаєте перевагу таблиці? Відкрийте Сітку коефіцієнтів, виберіть Розмір сітки (від 2 × 2 до 5 × 5) і заповніть коефіцієнти, а вільні члени вписуйте в стовпець після знака =. Порожня клітинка вважається 0. Сітка й рівняння залишаються синхронізованими.
4. Прочитайте результат і пояснення під ним: Метод Гаусса – Жордана з кожною операцією над рядками й матрицею після кожної з них, Правило Крамера для систем 2 × 2 і 3 × 3 та Перевірку в початкових рівняннях.

Усі обчислення точні: інструмент працює зі звичайними дробами, а не з округленими десятковими, тож 1/3 залишається 1/3. Поруч із дробовими відповідями показано десяткове наближення.

Працює у вашому браузері. Нічого з того, що ви вводите, не надсилається на сервер.

Метод Гаусса крок за кроком

Спершу систему записують як розширену матрицю: один рядок на рівняння, один стовпець на невідоме, а вільні члени – після вертикальної риски. Три операції над рядками змінюють матрицю, не змінюючи розв’язків:

• поміняти місцями два рядки (R₁ ↔ R₂);
• помножити рядок на ненульове число (R₁ → R₁ ÷ 2);
• додати до рядка кратне іншого рядка (R₂ → R₂ − 3R₁).

Інструмент працює стовпець за стовпцем. Він обирає провідний елемент, надаючи перевагу значенню 1 або −1, щоб уникнути дробів, ставить його на місце, ділить рядок так, щоб провідний елемент став 1, а потім занулює решту стовпця в усіх інших рядках. Це варіант Гаусса – Жордана: наприкінці матриця набуває зведеного східчастого вигляду, і розв’язок можна прочитати прямо в останньому стовпці.

Один розв’язок, жодного або безліч

• Один розв’язок: кожне невідоме має провідний елемент. Ранг дорівнює кількості невідомих.
• Розв’язків немає: рядок набуває вигляду 0 = 5 (нульові коефіцієнти, ненульовий вільний член). Рівняння суперечать одне одному; для двох невідомих прямі паралельні.
• Безліч розв’язків: деякі невідомі не мають провідного елемента. Вони стають вільними параметрами (t, s…), а інші невідомі виражаються через них, наприклад x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Кожне значення t дає один розв’язок.

Правило Крамера

Для квадратної системи Ax = b з det(A) ≠ 0 кожне невідоме дорівнює det(Aᵢ) ÷ det(A), де Aᵢ – це матриця A, у якій стовпець i замінено на вільні члени. Інструмент показує визначники: ad − bc для 2 × 2 і розклад за першим рядком для 3 × 3. Коли det(A) = 0, правило не застосовне, а метод Гаусса підкаже, чи розв’язків немає, чи їх безліч. Для більших систем метод Гаусса набагато швидший, тому правило Крамера показується лише до 3 × 3.