Перетворення дробу на десятковий і навпаки

Як користуватися конвертером дробів

Інструмент працює в обидва боки.

Дріб → десятковий

1. Введіть Дріб, наприклад 5/12, мішане число на кшталт 1 3/4 або ціле число.
2. Прочитайте Точний десятковий дріб (період у дужках): 5/12 = 0,41(6), тобто 0,41666… із шісткою, що повторюється нескінченно.
3. Поруч ви побачите значення Округлено до 15 знаків після коми та Довжину періоду, тобто кількість цифр у блоці, що повторюється.
4. Кроки показують ділення стовпчиком по одній цифрі й пояснюють, чому десятковий дріб скінченний або періодичний.

Десятковий → дріб

1. Введіть Десяткове число. Для періодичного дробу візьміть цифри періоду в дужки: 0,(3) для 0,333…, 0,1(6) для 0,1666…, 2,(142857) для 2,142857142857…
2. Кнопки ( і ) вставляють дужки, якщо на вашій клавіатурі їх незручно набирати.
3. Прочитайте Дріб у нескоротному вигляді та алгебраїчні викладки, що до нього привели.

Десяткова кома працює так само, як десяткова крапка: 0,1(6) і 0.1(6) – це те саме число.

Працює у вашому браузері. Нічого з того, що ви вводите, не надсилається на сервер.

Чому деякі дроби періодичні

Нескоротний дріб має скінченний десятковий запис лише тоді, коли в його знаменнику немає простих множників, крім 2 і 5, тобто простих множників числа 10. Тому 3/8 = 0,375 (8 = 2³) і 7/20 = 0,35 (20 = 2² × 5) скінченні, а 1/3, 1/6 чи 1/7 повторюються нескінченно. Інструмент розкладає знаменник на множники й повідомляє, який випадок має місце.

Коли ви ділите вручну, кожен крок залишає остачу, меншу за знаменник. Можливих остач обмежена кількість, тож рано чи пізно одна з них повертається, і відтоді цифри повторюються. Для 1/7 остачі циклічно змінюються 1, 3, 2, 6, 4, 5, а десятковий дріб дорівнює 0,(142857) із періодом у 6 цифр. Період дробу 1/d має не більш ніж d − 1 цифр.

Перетворення періодичного дробу на звичайний

Класичний метод множить число на степені десяти так, щоб періодичні частини збіглися, а потім віднімає. Для x = 0,1(6):

1. x = 0,1(6)
2. 10x = 1,(6)
3. 100x = 16,(6)
4. 100x − 10x = 16 − 1, тож 90x = 15
5. x = 15/90 = 1/6

Інструмент виконує саме ці кроки, якою б довгою не була група цифр періоду, і скорочує результат. Для скінченного десяткового дробу метод простіший: 0,75 = 75/100 = 3/4.

Точність і обмеження

Усі обчислення використовують цілі числа необмеженого розміру, тому результати точні, а не наближені. Ділення стовпчиком докладно показує перші дванадцять кроків, а решту підсумовує. Якщо період довший за 5000 цифр (що трапляється лише з дуже великими знаменниками), розклад обрізається й позначається «…».