Калкулатор за степени и корени

Изчислявайте степени с отрицателен или дробен показател, квадратни, кубични и n-ти корени и опростявайте радикали точно (√72 = 6√2), със стъпките.

Основа x Показател n

Числата могат да са цели, десетични или дроби: 2, -8, 1.5, 3/4. Показателят може да е отрицателен (2^-3) или дробен (8^(2/3), 16^0.25). Дробен показател p/q означава q-ти корен от x на степен p.

Резултат

–

Стъпка по стъпка

Как да използвате калкулатора за степени и корени

Изберете Степен (xⁿ) или Корен (ⁿ√x).
Въведете Основа x. Работят цели числа, десетични числа и дроби: 2, -8, 1.5, 3/4.
За степен въведете Показател n: 10, -3, 0.5 или 2/3. За корен въведете Степен на корена n (2 = квадратен корен, 3 = кубичен корен).
Резултат се обновява по време на въвеждането; Изчисли прави същото, а Копирай копира точния вид.

Под резултата получавате десетичната стойност, а панелът Стъпка по стъпка обяснява всяко приложено правило: отрицателен показател, дробен показател, разлагане на прости множители, групиране на множителите, имагинерна единица.

Точни резултати, не само десетични

Обикновеният калкулатор показва √72 ≈ 8,485281374. Този инструмент дава и точния опростен радикал, 6√2, каквато форма се очаква в домашните по алгебра. Работи по метода, преподаван в клас:

Разложете числото на прости множители: 72 = 2³ × 3².
При квадратен корен всяка двойка равни множители излиза от корена като един множител: 2² и 3² дават 2 × 3 = 6.
Каквото остане, си стои под корена: 2. Така √72 = 6√2.

При кубичен корен се изнасят групи по три (∛54 = ∛(2 × 3³) = 3∛2), при корен от четвърта степен – групи по четири и т.н. Дроб под корена се рационализира, така че √(1/2) се записва √2/2.

Степените с цял показател също са точни, колкото и да са големи: 2¹⁰⁰⁰ се изписва с всичките си 302 цифри, а дробите остават дроби ((3/4)² = 9/16, 2⁻³ = 1/8). Резултати с повече от 50 000 цифри се дават в научен запис.

Правила за степените

Положителен цял показател: многократно умножение, 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
Нулев показател: x⁰ = 1 за всяко ненулево x. 0⁰ се приема за 1 – обичайната конвенция в алгебрата; нула на отрицателна степен е недефинирана.
Отрицателен показател: x⁻ⁿ = 1 / xⁿ, така че 10⁻² = 1/100 = 0,01.
Дробен показател: x^(p/q) = q-ти корен от xᵖ. Така 8^(2/3) = ∛(8²) = ∛64 = 4, а 16^0.25 = ∜16 = 2. Десетичният показател първо се превръща в дроб (0,25 = 1/4).

Корени от отрицателни числа

Коренът от нечетна степен от отрицателно число е реално отрицателно число: ∛(−8) = −2, защото (−2)³ = −8.

Коренът от четна степен от отрицателно число няма реална стойност, тъй като всяко реално число на квадрат е положително или нула. Той съществува сред комплексните числа с имагинерната единица i = √−1: √−16 = √16 × √−1 = 4i. За квадратни корени инструментът записва този точен вид (√−8 = 2√2i). За други корени от четна степен, например ∜(−16), дава главната комплексна стойност в десетичен вид, 1,414 + 1,414i, и я обяснява в стъпките.

Често задавани въпроси

Как да опростя квадратен корен?

Разложете числото на множители, изнесете по един множител за всяка двойка и оставете останалото под корена: √50 = √(5² × 2) = 5√2. Изберете Корен (ⁿ√x) със степен 2, за да видите всяка стъпка.

Какво означава дробен показател?

Знаменателят е степента на корена, а числителят – степента: 27^(2/3) е кубичният корен от 27, повдигнат на квадрат, т.е. 9.

Защо квадратният корен от отрицателно число се показва с i?

Никое реално число, умножено по себе си, не дава отрицателен резултат, така че отговорът е имагинерно число. i се определя от i² = −1.

Мога ли да ползвам десетични числа за основа или показател?

Да. 1.5² = 2,25 точно, а показател като 0.5 се третира като дробта 1/2, което го прави квадратен корен.

Колко големи могат да са числата?

Точните степени с цели числа и дроби се изчисляват до около 50 000 цифри. Над това резултатът се показва в научен запис, изчислен с логаритми, например 10^1000000 = 1 × 10¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰.