حاسبة الاحتمالات

كيفية استخدام حاسبة الاحتمالات

1. اختر نوع المسألة في نوع الحساب: حدث واحد (الملائمة ÷ الممكنة)، أو المتمم (ليس A)، أو حدثان (A و B، A أو B)، أو الاحتمال الشرطي (نظرية بايز)، أو نجاح واحد على الأقل في n محاولة، أو التوزيع ذو الحدين، أو من الأرجحية إلى الاحتمال، أو من الاحتمال إلى الأرجحية.
2. املأ الحقول. يمكن كتابة الاحتمالات ككسر (1/6) أو عدد عشري (0.25) أو نسبة مئوية (25%). أما الأعداد مثل n – عدد المحاولات فيجب أن تكون صحيحة.
3. في حالة حدثين، اختر العلاقة بين A وB: مستقلان، أو متنافيان، أو أعرف P(A and B). وفي حالة الأرجحية، حدّد ما إذا كانت أرجحية لصالح الحدث أو أرجحية ضد الحدث.
4. تتحدّث النتائج أثناء الكتابة (وزر احسب يؤدي الشيء نفسه). تُعرض كل نتيجة على شكل الكسر الدقيق والعدد العشري والنسبة المئوية، ويعرض قسم خطوة بخطوة القانون بأرقامك. وينسخ زر نسخ جدول النتائج نصًا.

تعمل الأداة بكسور دقيقة: يبقى 1/6 كما هو بدلًا من أن يصبح 0.1666…، لذا فجواب سؤال «ستة واحدة على الأقل في أربع رميات» هو 671/1296 بالضبط. وحين يصبح الكسر أطول من أن يُقرأ، يُعرض العدد العشري وحده.

وتُكتب الأرجحية بالشكل 3:2 أو 3-2، أو بالكلمة العربية: «3 إلى 2» أو «3 مقابل 2».

القوانين المستخدمة

• حدث واحد: P(A) = النتائج الملائمة ÷ النتائج الممكنة، حين تكون كل النتائج متساوية الاحتمال.
• المتمم: P(not A) = 1 − P(A).
• حدثان مستقلان: P(A and B) = P(A) × P(B).
• حدثان متنافيان: P(A and B) = 0، ومن ثم P(A or B) = P(A) + P(B).
• قاعدة الجمع (لأي حدثين): P(A or B) = P(A) + P(B) − P(A and B).
• الاحتمال الشرطي: P(A | B) = P(A and B) ÷ P(B).
• نظرية بايز: P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B)، حيث P(B) = P(B | A) × P(A) + P(B | not A) × P(not A).
• نجاح واحد على الأقل: 1 − (1 − p)ⁿ.
• التوزيع ذو الحدين: P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ، بمتوسط np وتباين np(1 − p).
• الأرجحية: أرجحية a:b لصالح الحدث تعطي P = a ÷ (a + b)؛ وأرجحية a:b ضده تعطي P = b ÷ (a + b).

نظرية بايز وجدول 2 × 2

صُمّم وضع بايز لأسئلة مثل: «حساسية فحص 95% ومعدل إيجابياته الكاذبة 5%، و1% من الناس مصابون بالحالة: ما احتمال أن تكون النتيجة الإيجابية صحيحة فعلًا؟». أدخل P(A) – الاحتمال المسبق (معدل الانتشار) = 1%، وP(B | A) – معدل الإيجابيات الصحيحة = 95%، وP(B | not A) – معدل الإيجابيات الكاذبة = 5%. الجواب P(A | B) = 19/118 ≈ 16.1% يفاجئ معظم الناس: فلأن الحالة نادرة، تفوق الإيجابيات الكاذبة الصحيحة عددًا. ويعرض جدول 2 × 2 للاحتمالات المشتركة التركيبات الأربع (A وB، A وليس B، ليس A وB، ليس A وليس B) مع مجاميعها، وتعيد الخطوات صياغتها بتكرارات طبيعية من أصل 10,000 شخص.

نتائج التوزيع ذي الحدين والأعداد الكبيرة

يعطي وضع التوزيع ذي الحدين القيم P(X = k) وP(X < k) وP(X ≤ k) وP(X > k) وP(X ≥ k) معًا، إضافة إلى المتوسط والتباين والانحراف المعياري. حتى 1,000 محاولة تُحسب كل قيمة بدقة تامة بأعداد صحيحة كبيرة. ومن 1,001 إلى 100,000 محاولة تنتقل الأداة إلى حساب الفاصلة العائمة في الفضاء اللوغاريتمي وتذكر ذلك في الخطوات، فتكون النتائج حينها تقريبات دقيقة. ويقبل وضع «نجاح واحد على الأقل» حتى 1,000,000 محاولة، ويخبرك أيضًا بعدد المحاولات اللازمة لبلوغ فرصة 50% و95% لنجاح واحد على الأقل.