Αριθμομηχανή πινάκων

Πώς να χρησιμοποιήσετε την αριθμομηχανή πινάκων

1. Επιλέξτε μια Πράξη: A + B (πρόσθεση), A − B (αφαίρεση), A × B (πολλαπλασιασμός), k × A (πολλαπλάσιο με αριθμό), Ανάστροφος του A, Ορίζουσα του A, Αντίστροφος του A, Τάξη του A, Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή (RREF) του A, Δύναμη Aⁿ, Ιδιοτιμές του A, ή το εσωτερικό και το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων.
2. Ορίστε το μέγεθος του Πίνακα A με τις Γραμμές και τις Στήλες (από 1 έως 6) και πληκτρολογήστε τα στοιχεία στο πλέγμα. Γίνονται δεκτοί ακέραιοι, δεκαδικοί όπως 2,5 και κλάσματα όπως -3/4, ενώ ένα κενό κελί μετράει ως 0. Ο Πίνακας B εμφανίζεται μόνο για τις πράξεις που τον χρειάζονται.
3. Για να μην πληκτρολογείτε κελί κελί, ανοίξτε το Πληκτρολόγηση ή επικόλληση ως κείμενο, επικολλήστε τις γραμμές (από υπολογιστικό φύλλο, από έγγραφο ή από λίστα [[1, 2], [3, 4]]) και πατήστε Συμπλήρωση πλέγματος.
4. Το αποτέλεσμα ενημερώνεται καθώς πληκτρολογείτε· το κουμπί Υπολογισμός κάνει το ίδιο. Η Εναλλαγή A και B ανταλλάσσει τους δύο πίνακες, το Παράδειγμα φορτώνει ένα παράδειγμα 3 × 3 και η Εκκαθάριση αδειάζει και τα δύο πλέγματα.
5. Διαβάστε το αποτέλεσμα και ανοίξτε από κάτω τη λίστα Βήμα προς βήμα για να ακολουθήσετε τη λύση. Η Εμφάνιση δεκαδικών αλλάζει την εμφάνιση από κλάσματα σε δεκαδικούς, η Χρήση του αποτελέσματος ως A σας επιτρέπει να αλυσιδώνετε πράξεις (για παράδειγμα, αντιστροφή και μετά πολλαπλασιασμός) και η Αντιγραφή αντιγράφει το αποτέλεσμα ως γραμμές χωρισμένες με tab, που μπορείτε να επικολλήσετε σε υπολογιστικό φύλλο.

Όλη η αριθμητική γίνεται με ακριβή κλάσματα και ποτέ με στρογγυλοποιημένους αριθμούς κινητής υποδιαστολής. Ο αντίστροφος του [[4, 7], [2, 6]] εμφανίζεται ως [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]] και όχι ως 0,6000000001.

Τι κάνει κάθε πράξη

• Πρόσθεση και αφαίρεση γίνονται στοιχείο προς στοιχείο και χρειάζονται δύο πίνακες ίδιου μεγέθους.
• Πολλαπλασιασμός A × B: χρειάζεται τόσες στήλες στον A όσες γραμμές έχει ο B. Ένας πίνακας m × n επί έναν πίνακα n × p δίνει πίνακα m × p. Κάθε στοιχείο είναι μια γραμμή του A επί μια στήλη του B και τα βήματα γράφουν κάθε τέτοιο άθροισμα, όπως c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Θυμηθείτε ότι το A × B και το B × A είναι συνήθως διαφορετικά.
• Ορίζουσα: οι πίνακες 2 × 2 χρησιμοποιούν το ad − bc, οι πίνακες 3 × 3 ανάπτυγμα συμπαραγόντων ως προς την πρώτη γραμμή (με κάθε ελάσσονα να εμφανίζεται) και οι μεγαλύτεροι ανάγονται σε τριγωνική μορφή με πράξεις γραμμών. Η ορίζουσα είναι τότε το γινόμενο της διαγωνίου, με μία αλλαγή προσήμου για κάθε εναλλαγή γραμμών.
• Αντίστροφος: απαλοιφή Gauss–Jordan στον επαυξημένο πίνακα [A | I]. Κάθε βήμα απαριθμεί τις πράξεις γραμμών, όπως Γ2 → Γ2 − 3Γ1, με τον πίνακα μετά από αυτές. Όταν το αριστερό τμήμα γίνει ο μοναδιαίος πίνακας, το δεξί τμήμα είναι ο A⁻¹. Αν λείπει οδηγός, ο πίνακας είναι ιδιάζων και δεν έχει αντίστροφο.
• Τάξη και RREF: η ίδια απαλοιφή μόνο στον A. Η τάξη είναι το πλήθος των οδηγών και τα βήματα λένε σε ποιες στήλες βρίσκονται.
• Δύναμη Aⁿ με επαναλαμβανόμενο τετραγωνισμό, οπότε το A¹⁰⁰ χρειάζεται λίγους μόνο πολλαπλασιασμούς. Το A⁰ είναι ο μοναδιαίος πίνακας και οι αρνητικοί εκθέτες χρησιμοποιούν τον αντίστροφο.
• Εσωτερικό και εξωτερικό γινόμενο αντιμετωπίζουν μία μόνο γραμμή ή μία μόνο στήλη ως διάνυσμα. Το εξωτερικό γινόμενο χρειάζεται 3 συνιστώσες.

Ιδιοτιμές: ακριβείς και προσεγγιστικές

Το εργαλείο υπολογίζει πρώτα το χαρακτηριστικό πολυώνυμο det(λI − A) ακριβώς, με τη μέθοδο Faddeev–LeVerrier. Για πίνακα 2 × 2, οι ιδιοτιμές προκύπτουν από τον τύπο του τριωνύμου και μένουν ακριβείς, με ρίζες και μιγαδικές τιμές: το [[1, 1], [1, 0]] δίνει 1/2 ± √5/2. Για πίνακες 3 × 3 και μεγαλύτερους, οι ρίζες βρίσκονται αριθμητικά με τον αλγόριθμο QR με μετατόπιση. Κάθε ρίζα που είναι απλό κλάσμα ελέγχεται στη συνέχεια ακριβώς στο πολυώνυμο και εμφανίζεται χωρίς το σήμα ≈. Οι υπόλοιπες είναι προσεγγίσεις, με ακρίβεια περίπου 8 σημαντικών ψηφίων, και σημειώνονται με ≈. Τα ιδιοδιανύσματα δεν υπολογίζονται.