Utilia
Κατηγορίες ▾
Γλώσσα: el ▾

Υπολογισμός δυνάμεων και ριζών

Υπολογίστε δυνάμεις με αρνητικούς ή κλασματικούς εκθέτες, τετραγωνικές, κυβικές και ν-οστές ρίζες, και απλοποιήστε ριζικά ακριβώς (√72 = 6√2), με βήματα.

Οι αριθμοί μπορούν να είναι ακέραιοι, δεκαδικοί ή κλάσματα: 2, -8, 1,5, 3/4. Ο εκθέτης μπορεί να είναι αρνητικός (2^-3) ή κλασματικός (8^(2/3), 16^0,25). Ένας κλασματικός εκθέτης p/q σημαίνει την q-οστή ρίζα του x υψωμένη στη δύναμη p.

Αποτέλεσμα

–

Βήμα προς βήμα

Πώς να χρησιμοποιήσετε τον υπολογισμό δυνάμεων και ριζών

  1. Επιλέξτε Δύναμη (xⁿ) ή Ρίζα (ⁿ√x).
  2. Πληκτρολογήστε τη Βάση x. Δουλεύουν ακέραιοι, δεκαδικοί και κλάσματα: 2, -8, 1,5, 3/4.
  3. Για δύναμη, πληκτρολογήστε τον Εκθέτη n: 10, -3, 0,5 ή 2/3. Για ρίζα, πληκτρολογήστε την Τάξη ρίζας n (2 = τετραγωνική ρίζα, 3 = κυβική ρίζα).
  4. Το Αποτέλεσμα ενημερώνεται καθώς πληκτρολογείτε· το κουμπί Υπολογισμός κάνει το ίδιο και η Αντιγραφή αντιγράφει την ακριβή μορφή.

Κάτω από το αποτέλεσμα βλέπετε τη δεκαδική τιμή, ενώ το πλαίσιο Βήμα προς βήμα εξηγεί κάθε κανόνα που χρησιμοποιήθηκε: αρνητικός εκθέτης, κλασματικός εκθέτης, ανάλυση σε πρώτους παράγοντες, ομαδοποίηση παραγόντων, φανταστική μονάδα.

Ακριβή αποτελέσματα, όχι μόνο δεκαδικά

Μια απλή αριθμομηχανή δείχνει √72 ≈ 8,485281374. Αυτό το εργαλείο δίνει και το ακριβές απλοποιημένο ριζικό, 6√2, τη μορφή που περιμένουν οι ασκήσεις άλγεβρας. Δουλεύει όπως η μέθοδος που διδάσκεται στο σχολείο:

  1. Αναλύστε τον αριθμό σε πρώτους παράγοντες: 72 = 2³ × 3².
  2. Για τετραγωνική ρίζα, κάθε ζεύγος ίσων παραγόντων βγαίνει από τη ρίζα ως ένας παράγοντας: τα 2² και 3² δίνουν 2 × 3 = 6.
  3. Ό,τι μένει μέσα παραμένει κάτω από τη ρίζα: 2. Άρα √72 = 6√2.

Για κυβική ρίζα βγάζετε ομάδες των τριών (∛54 = ∛(2 × 3³) = 3∛2), για τέταρτη ρίζα ομάδες των τεσσάρων, και ούτω καθεξής. Ένα κλάσμα κάτω από ρίζα αποκτά ρητό παρονομαστή, οπότε το √(1/2) γράφεται √2/2.

Και οι δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη είναι ακριβείς, όσο μεγάλες κι αν είναι: το 2¹⁰⁰⁰ γράφεται ολόκληρο με τα 302 ψηφία του και τα κλάσματα μένουν κλάσματα ((3/4)² = 9/16, 2⁻³ = 1/8). Αποτελέσματα με περισσότερα από 50.000 ψηφία δίνονται σε επιστημονική γραφή.

Οι κανόνες των εκθετών

  • Θετικός ακέραιος εκθέτης: επαναλαμβανόμενος πολλαπλασιασμός, 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
  • Μηδενικός εκθέτης: x⁰ = 1 για κάθε μη μηδενικό x. Το 0⁰ θεωρείται 1, η συνήθης σύμβαση στην άλγεβρα· το 0 σε αρνητική δύναμη είναι απροσδιόριστο.
  • Αρνητικός εκθέτης: x⁻ⁿ = 1 / xⁿ, άρα 10⁻² = 1/100 = 0,01.
  • Κλασματικός εκθέτης: x^(p/q) = q-οστή ρίζα του xᵖ. Έτσι 8^(2/3) = ∛(8²) = ∛64 = 4 και 16^0,25 = ∜16 = 2. Ένας δεκαδικός εκθέτης μετατρέπεται πρώτα σε κλάσμα (0,25 = 1/4).

Ρίζες αρνητικών αριθμών

Μια περιττή ρίζα αρνητικού αριθμού είναι πραγματικός, αρνητικός αριθμός: ∛(−8) = −2, επειδή (−2)³ = −8.

Μια άρτια ρίζα αρνητικού αριθμού δεν έχει πραγματική τιμή, αφού κάθε πραγματικός αριθμός στο τετράγωνο είναι θετικός ή μηδέν. Υπάρχει στους μιγαδικούς αριθμούς, με τη φανταστική μονάδα i = √−1: √−16 = √16 × √−1 = 4i. Για τετραγωνικές ρίζες το εργαλείο γράφει αυτή την ακριβή μορφή (√−8 = 2√2i). Για άλλες άρτιες ρίζες, όπως η ∜(−16), δίνει την πρωτεύουσα μιγαδική τιμή σε δεκαδική μορφή, 1,414 + 1,414i, και την εξηγεί στα βήματα.

Συχνές ερωτήσεις

Πώς απλοποιώ μια τετραγωνική ρίζα;

Αναλύστε τον αριθμό σε παράγοντες, βγάλτε έναν παράγοντα για κάθε ζεύγος και αφήστε τα υπόλοιπα κάτω από τη ρίζα: √50 = √(5² × 2) = 5√2. Επιλέξτε Ρίζα (ⁿ√x) με τάξη 2 για να δείτε κάθε βήμα.

Τι σημαίνει ένας κλασματικός εκθέτης;

Ο παρονομαστής είναι η ρίζα και ο αριθμητής η δύναμη: το 27^(2/3) είναι η κυβική ρίζα του 27 στο τετράγωνο, δηλαδή 9.

Γιατί η τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού εμφανίζεται με i;

Κανένας πραγματικός αριθμός πολλαπλασιασμένος με τον εαυτό του δεν δίνει αρνητικό αποτέλεσμα, οπότε η απάντηση είναι φανταστικός αριθμός. Το i ορίζεται από την ισότητα i² = −1.

Μπορώ να χρησιμοποιήσω δεκαδικούς ως βάση ή εκθέτη;

Ναι. Το 1,5² = 2,25 ακριβώς, και ένας εκθέτης όπως το 0,5 αντιμετωπίζεται ως το κλάσμα 1/2, που σημαίνει τετραγωνική ρίζα.

Πόσο μεγάλοι μπορούν να είναι οι αριθμοί;

Οι ακριβείς δυνάμεις ακεραίων και κλασμάτων υπολογίζονται έως περίπου 50.000 ψηφία. Πέρα από αυτό, το αποτέλεσμα εμφανίζεται σε επιστημονική γραφή, υπολογισμένο με λογαρίθμους, για παράδειγμα 10^1000000 = 1 × 10¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰.

Σχετικά εργαλεία