حاسبة نظرية فيثاغورس

كيفية استخدام حاسبة نظرية فيثاغورس

1. اكتب الضلعين المعلومين في الضلع القائم a والضلع القائم b والوتر c، واترك الضلع المطلوب فارغًا. يمكنك كتابة أعداد صحيحة، أو أعداد عشرية مثل 2.5، أو كسور مثل 3/2.
2. اختر الوحدة إن شئت (mm أو cm أو m أو km أو in أو ft أو yd أو mi). تُضاف الوحدة إلى النتائج فقط، ويبقى الحساب نفسه.
3. يظهر الجواب أثناء الكتابة (وزر احسب يؤدي الشيء نفسه). يعرض الضلع المجهول القيمة العشرية، وتعرض القيمة الدقيقة الجذر المبسّط حين لا يكون الضلع عددًا صحيحًا أو عددًا عشريًا منتهيًا، مثل 5√2.
4. ستحصل تحتها على المساحة والمحيط والزاويتين الحادتين، وملاحظة تبيّن ما إذا كانت الأضلاع الثلاثة تشكّل ثلاثية فيثاغورس، والحل الكامل في قسم خطوة بخطوة.
5. يعيد الرسم المجاور رسم المثلث بمقياس رسم، مع إبراز الضلع المجهول بخط متقطع. ينسخ زر نسخ الجواب، ويفرّغ زر مسح الحقول الثلاثة.

نظرية فيثاغورس

في المثلث القائم، يُسمّى الضلع المقابل للزاوية القائمة الوتر c، وهو دائمًا أطول الأضلاع. أما الضلعان الآخران a وb فهما الضلعان القائمان. وتنص النظرية على أن:

‎a² + b² = c²

أي أن مساحة المربع المنشأ على الوتر تساوي مجموع مساحتي المربعين المنشأين على الضلعين القائمين. وبإعادة ترتيب القانون نحصل على كل ضلع:

• الوتر: c = √(a² + b²)
• ضلع قائم: a = √(c² − b²)، أو b = √(c² − a²)

ولأن الضلع القائم يُحسب بالطرح، يجب أن يكون الوتر أطول تمامًا من الضلع القائم المعلوم. وإن لم يكن كذلك فلا وجود لمثلث قائم، وتخبرك الأداة بذلك.

نتائج دقيقة بالجذور التربيعية

تعمل هذه الأداة بكسور دقيقة، لذا يمكنها إعطاء الجواب بصيغة جذر مبسّط لا بعدد عشري مقرّب فحسب. فمع ضلعين قائمين 5 و5 يكون c² = 25 + 25 = 50، ولأن 50 = 5² × 2 فإن c = √50 = 5√2 ≈ 7.0710678. ومع ضلع قائم طوله 1 ووتر طوله 2، يكون الضلع الآخر √3 والمساحة √3/2. وتُعالج الكسور بالطريقة نفسها: فالضلعان 1/2 و1/3 يعطيان c = √13/6.

الصيغة الدقيقة هي ما ينتظره المعلمون عادة في واجبات الهندسة، أما العدد العشري فهو ما تحتاجه لقصّ لوح خشب أو تخطيط جدار. وتُعطى المساحة والمحيط بدقة أيضًا، مثل 10 + 5√2 لمحيط المثلث 5-5.

ثلاثيات فيثاغورس

ثلاثية فيثاغورس مجموعة من ثلاثة أعداد صحيحة تحقق a² + b² = c². وأشهرها 3-4-5 و5-12-13 و8-15-17 و7-24-25. وتكون الثلاثية أولية حين لا يكون للأعداد الثلاثة عامل مشترك. وضرب ثلاثية أولية في أي عدد صحيح يعطي ثلاثية أخرى: فـ 6-8-10 هي 2 × (3-4-5)، و9-12-15 هي 3 × (3-4-5). وحين تكون الأضلاع الثلاثة أعدادًا صحيحة، تبيّن الأداة ما إذا كانت ثلاثية أولية أو مضاعفًا لثلاثية أولية.

والثلاثيات مفيدة في مواقع البناء: قِس 3 m على امتداد جدار و4 m على امتداد الآخر، فإن كان القطر 5 m بالضبط فالزاوية قائمة.

الزوايا والمساحة والمحيط

إذا عُرفت الأضلاع الثلاثة، أمكن استنتاج بقية عناصر المثلث القائم. فالمساحة نصف حاصل ضرب الضلعين القائمين، a × b ÷ 2. والمحيط a + b + c. والزاوية الحادة α المقابلة للضلع a تساوي arctan(a ÷ b)، والزاوية الحادة الأخرى β = 90° − α. أما المثلث غير القائم فاستخدم له حاسبة مثلثات عامة تعتمد قانون جيب التمام.