حاسبة القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

كيفية استخدام حاسبة ق.م.أ وم.م.أ

1. اكتب أعدادك في خانة الأعداد الصحيحة، وافصل بينها بمسافات أو فواصل (عربية أو لاتينية) أو فواصل منقوطة أو أسطر جديدة: مثل 84 126 210.
2. يظهر ق.م.أ (القاسم المشترك الأكبر) وم.م.أ (المضاعف المشترك الأصغر) أثناء الكتابة. ويؤدي زر احسب الشيء نفسه، وينسخ زر نسخ النتيجتين.
3. تحت النتائج، تعرض ثلاث لوحات خطوات الحل: خوارزمية إقليدس، وطريقة التحليل إلى العوامل الأولية، وم.م.أ من ق.م.أ.

يمكنك إدخال حتى 50 عددًا، يصل كل منها إلى نحو 6,000 رقم. تُتجاهل الإشارات، لأن قواسم −12 ومضاعفاته هي نفسها قواسم 12 ومضاعفاته. وتُقبل القوى البسيطة مثل 2^32 ما دامت بلا مسافات.

ما القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر؟

القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ، ويُسمّى أيضًا العامل المشترك الأكبر أو القاسم المشترك الأعلى) هو أكبر عدد صحيح يقسم كل أعداد القائمة دون باقٍ. وهو للأعداد 84 و126 و210 يساوي 42.

المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) هو أصغر عدد موجب يكون مضاعفًا لكل أعداد القائمة. وهو للأعداد 84 و126 و210 يساوي 1260.

من استخداماتهما الشائعة: يبسّط ق.م.أ الكسور (84/126 = 2/3 بعد قسمة الحدّين على 42) ويقسّم الأشياء إلى أكبر أجزاء متساوية ممكنة، بينما يعطي م.م.أ المقام المشترك الأصغر عند جمع الكسور، ويخبرك متى تتزامن الدورات المتكررة من جديد (حافلتان تمرّ إحداهما كل 12 دقيقة والأخرى كل 18 دقيقة تلتقيان كل 36 دقيقة).

عندما يكون ق.م.أ مساويًا 1، تكون الأعداد أولية فيما بينها: لا يجمعها أي عامل مشترك، مثل 8 و15. تنبّهك الأداة إلى ذلك، وإلا فإنها تعرض كل عدد مقسومًا على ق.م.أ.

الطريقة 1: خوارزمية إقليدس

تستبدل طريقة إقليدس العدد الأكبر بباقي القسمة، مرة بعد مرة، حتى يصبح الباقي 0. وآخر باقٍ غير صفري هو ق.م.أ:

• 1071 = 2 × 462 + 147
• 462 = 3 × 147 + 21
• 147 = 7 × 21 + 0، إذن ق.م.أ(1071، 462) = 21.

وهي سريعة حتى مع أعداد من مئات الأرقام، ولهذا تكون النتيجة دقيقة دائمًا. ومع ثلاثة أعداد أو أكثر، تُطبَّق على الأزواج تباعًا: ق.م.أ(a، b، c) = ق.م.أ(ق.م.أ(a، b)، c).

الطريقة 2: التحليل إلى العوامل الأولية

اكتب كل عدد حاصلَ ضرب عوامل أولية. يأخذ ق.م.أ كل عامل أولي مشترك بين جميع الأعداد بأصغر أسّ له، ويأخذ م.م.أ كل عامل أولي يظهر بأكبر أسّ له. مع 12 = 2² × 3 و18 = 2 × 3²: ق.م.أ = 2 × 3 = 6، وم.م.أ = 2² × 3² = 36. تُعرض هذه الطريقة متى أمكن تحليل كل الأعداد بسرعة، أما مع الأعداد الكبيرة جدًا فتبقى خوارزمية إقليدس كفيلة بالإجابة.

الطريقة 3: م.م.أ من ق.م.أ

لعددين: ق.م.أ × م.م.أ = a × b، إذن م.م.أ(a، b) = a × b / ق.م.أ(a، b). للعددين 12 و18: 12 × 18 / 6 = 36. ولقائمة أطول، تُطبَّق القاعدة خطوة خطوة.