Калькулятор комплексних чисел

Як користуватися калькулятором комплексних чисел

1. Введіть число в поле Комплексне число z. Його можна записати в алгебраїчній формі (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), у полярній (5∠53,13° або 2 cis 45) чи в показниковій (2e^(iπ/2)). Інженери можуть писати j замість i.
2. Виберіть Дію: Додавання: z + w, Віднімання: z − w, Множення: z × w, Ділення: z ÷ w, Степінь: zⁿ, Корені n-го степеня з z або Модуль, аргумент, спряжене число та форми z.
3. Заповніть друге поле. Його підпис залежить від дії: Друге число w для чотирьох основних дій, Показник степеня n (дійсний або комплексний) для піднесення до степеня й Степінь кореня n (від 1 до 100) для коренів. Якщо вам потрібні лише властивості z, поле приховується.
4. Виберіть Одиницю кута: Градуси або Радіани. Вона застосовується до полярного запису без позначки одиниці та до кожного аргументу в результатах.
5. Результат оновлюється, поки ви вводите дані; кнопка Обчислити робить те саме й показує повідомлення, якщо запис не вдається прочитати. Копіювати копіює результат або весь список коренів.

Під результатом ви побачите алгебраїчну, полярну й показникову форми, модуль, аргумент і спряжене число, а далі розділ Покроково, який повторює обчислення з вашими числами.

Працює у вашому браузері. Нічого з того, що ви вводите, не надсилається на сервер.

Правила для кожної дії

Комплексне число z = a + bi має дійсну частину a та уявну частину b, де i² = −1.

• Додавання й віднімання виконуються по частинах: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Множення розкриває дужки й замінює i² на −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Наприклад, (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Ділення множить чисельник і знаменник на число, спряжене до дільника, і так робить знаменник дійсним: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Отже, (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Модуль і аргумент: |z| = √(a² + b²) – відстань від початку координат, а аргумент θ = atan2(b, a) – кут із додатною піввіссю дійсних чисел. Інструмент дає головне значення аргументу в межах від −180° до 180° (від −π до π). Аргумент числа 0 не визначено.
• Спряжене число: z̄ = a − bi, дзеркальне відображення відносно дійсної осі. z × z̄ = |z|².

Полярна й показникова форми

Будь-яке ненульове комплексне число можна записати як z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), де r = |z|. У зворотному напрямку a = r cos θ, а b = r sin θ. Показникова форма завжди використовує радіани, бо формула Ейлера e^(iθ) = cos θ + i sin θ правильна лише для θ у радіанах. Для полярного запису одиницю можна задати явно позначкою ° або рад чи скористатися π: 2∠π/2 – це 2i за будь-якої вибраної одиниці.

Степені та корені

Для цілого показника формула Муавра дає zⁿ = rⁿ∠(nθ): підніміть модуль до степеня й помножте кут. Інструмент також обчислює результат повторним множенням, тож (1 + i)⁸ виходить рівно 16. Для дробового чи комплексного показника використовується головна гілка z^w = e^(w·Log z), де Log z = ln r + iθ. Саме так i^i ≈ 0,2079, тобто дійсне число.

Ненульове число має рівно n різних коренів n-го степеня. Вони мають однаковий модуль ⁿ√r, а їхні кути дорівнюють (θ + k × 360°) / n для k = 0 … n − 1, тож розташовані рівномірно на колі. Кубічні корені з −8: 1 + 1,732i, −2 і 1 − 1,732i. Перший із них (k = 0) – головний корінь.