Калкулатор за комплексни броеви

Како се користи калкулаторот за комплексни броеви

1. Внесете број во полето Комплексен број z. Можете да го запишете во правоаголен облик (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), во поларен облик (5∠53.13° или 2 cis 45) или во експоненцијален облик (2e^(iπ/2)). Инженерите можат да пишуваат j наместо i.
2. Изберете Операција: Собирање: z + w, Одземање: z − w, Множење: z × w, Делење: z ÷ w, Степен: zⁿ, n-ти корени на z или Модул, аргумент, коњугиран број и облици на z.
3. Пополнете го второто поле. Неговата ознака зависи од операцијата: Втор број w за четирите основни операции, Степенов показател n (реален или комплексен) за степенување и Степен на коренот n (од 1 до 100) за корени. Полето е скриено кога ви требаат само својствата на z.
4. Изберете Единица за агол, Степени или Радијани. Таа се користи за поларен внес без ознака за единица и за секој аргумент во резултатите.
5. Резултатот се ажурира додека пишувате; Пресметај го прави истото и прикажува порака ако некој запис не може да се прочита. Копирај го копира резултатот или целиот список на корени.

Под резултатот ги добивате правоаголниот, поларниот и експоненцијалниот облик, модулот, аргументот и коњугираниот број, а потоа и делот Чекор по чекор, што ја повторува пресметката со вашите броеви.

Правилата зад секоја операција

Комплексниот број z = a + bi има реален дел a и имагинарен дел b, каде што i² = −1.

• Собирањето и одземањето се вршат дел по дел: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Множењето ги размножува заградите и го заменува i² со −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. На пример, (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Делењето го множи броителот и именителот со коњугираниот број на делителот, со што именителот станува реален: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Значи (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Модул и аргумент: |z| = √(a² + b²) е растојанието од координатниот почеток, а аргументот θ = atan2(b, a) е аголот со позитивната реална оска. Алатката го дава главниот аргумент, меѓу −180° и 180° (−π и π). Аргументот на 0 не е дефиниран.
• Коњугиран број: z̄ = a − bi, лик во огледало во однос на реалната оска. z × z̄ = |z|².

Поларен и експоненцијален облик

Секој ненулти комплексен број може да се запише како z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), каде што r = |z|. Во обратна насока, a = r cos θ и b = r sin θ. Експоненцијалниот облик секогаш користи радијани, бидејќи Ојлеровата формула e^(iθ) = cos θ + i sin θ важи само кога θ е во радијани. За поларен внес можете да ја наметнете единицата со ° или rad или да користите π: 2∠π/2 е 2i без разлика на избраната единица.

Степени и корени

За цел показател, Моавровата формула дава zⁿ = rⁿ∠(nθ): модулот се степенува, а аголот се множи. Алатката го пресметува резултатот и со повторено множење, па (1 + i)⁸ излегува точно 16. За дробен или комплексен показател се користи главната гранка z^w = e^(w·Log z), каде што Log z = ln r + iθ. Така i^i ≈ 0,2079, реален број.

Ненулти број има точно n различни n-ти корени. Тие имаат ист модул ⁿ√r, а нивните агли се (θ + k × 360°) / n за k = 0 … n − 1, па се распоредени рамномерно на кружница. Кубните корени од −8 се 1 + 1,732i, −2 и 1 − 1,732i. Првиот (k = 0) е главниот корен.

Алатката работи во вашиот прелистувач. Ништо од внесеното не се испраќа на сервер.