Αριθμομηχανή τυπικής απόκλισης

Αριθμομηχανή τυπικής απόκλισης για δείγμα και πληθυσμό. Βρείτε τη διασπορά, τη μέση τιμή, το άθροισμα τετραγώνων και το τυπικό σφάλμα, με όλα τα βήματα.

Σύνολο δεδομένων

Χωρίστε τους αριθμούς με κενά, ερωτηματικά ή αλλαγές γραμμής. Για τα δεκαδικά χρησιμοποιήστε κόμμα (2,5).

Δείγμα (διαίρεση με n − 1)

Τυπική απόκλιση s: –
Διασπορά s²: –

Πληθυσμός (διαίρεση με n)

Τυπική απόκλιση σ: –
Διασπορά σ²: –

Μέση τιμή x̄: –
Πλήθος n: –
Άθροισμα Σx: –
Άθροισμα τετραγώνων Σ(x − x̄)²: –
Τυπικό σφάλμα s/√n: –

Βήμα προς βήμα

Πώς να χρησιμοποιήσετε την αριθμομηχανή τυπικής απόκλισης

Πληκτρολογήστε ή επικολλήστε τα δεδομένα σας στο πεδίο Σύνολο δεδομένων. Χωρίστε τις τιμές με κενά, ερωτηματικά ή αλλαγές γραμμής· μια στήλη που αντιγράψατε από υπολογιστικό φύλλο δουλεύει κατευθείαν. Για τα δεκαδικά χρησιμοποιήστε κόμμα (2,5).
Τα αποτελέσματα ενημερώνονται καθώς πληκτρολογείτε ή μπορείτε να πατήσετε Υπολογισμός.
Διαβάστε τις δύο εκδοχές δίπλα δίπλα: το Δείγμα (διαίρεση με n − 1) δίνει την Τυπική απόκλιση s και τη Διασπορά s²· ο Πληθυσμός (διαίρεση με n) δίνει την Τυπική απόκλιση σ και τη Διασπορά σ².
Από κάτω βρίσκετε επίσης τη Μέση τιμή x̄, το Πλήθος n, το Άθροισμα Σx, το Άθροισμα τετραγώνων Σ(x − x̄)² και το Τυπικό σφάλμα s/√n.
Το πλαίσιο Βήμα προς βήμα γράφει τον τύπο με τους δικούς σας αριθμούς: τη μέση τιμή, κάθε τετράγωνο απόκλισης, το άθροισμά τους και έπειτα τις διασπορές και τις τετραγωνικές ρίζες. Η Αντιγραφή αντιγράφει όλα τα αποτελέσματα ως κείμενο.

Ο υπολογισμός γίνεται στο πρόγραμμα περιήγησής σας και τίποτα από όσα πληκτρολογείτε δεν στέλνεται σε διακομιστή.

Δείγμα ή πληθυσμός;

Χρησιμοποιήστε τον τύπο του πληθυσμού όταν τα δεδομένα σας περιέχουν κάθε μέλος της ομάδας που σας ενδιαφέρει: τα ύψη και των 24 μαθητών μιας τάξης, οι βαθμολογίες κάθε αγώνα μιας σεζόν. Χρησιμοποιήστε τον τύπο του δείγματος όταν τα δεδομένα σας είναι ένα υποσύνολο που εκτιμά μια μεγαλύτερη ομάδα: 50 πελάτες που ρωτήθηκαν από χιλιάδες, δέκα μετρήσεις μιας διαδικασίας που θα μπορούσε να επαναλαμβάνεται επ’ άπειρον.

Στην πράξη, αν δεν είστε βέβαιοι, η τυπική απόκλιση δείγματος s είναι συνήθως αυτή που περιμένει ένας καθηγητής, μια εργαστηριακή αναφορά ή ένα στατιστικό πακέτο (για παράδειγμα η STDEV.S στα υπολογιστικά φύλλα). Η εκδοχή του πληθυσμού αντιστοιχεί στη STDEV.P.

Οι τύποι

Με n τιμές x₁ … xₙ και τη μέση τιμή τους x̄ = Σx ÷ n:

Άθροισμα τετραγώνων των αποκλίσεων: SS = Σ(x − x̄)²
Διασπορά πληθυσμού: σ² = SS ÷ n και τυπική απόκλιση πληθυσμού σ = √σ²
Διασπορά δείγματος: s² = SS ÷ (n − 1) και τυπική απόκλιση δείγματος s = √s²
Τυπικό σφάλμα του μέσου όρου: s ÷ √n

Η διαίρεση με n − 1 αντί για n (διόρθωση του Μπέσελ) αντισταθμίζει το γεγονός ότι οι αποκλίσεις μετριούνται από τη δική του μέση τιμή του δείγματος, η οποία είναι πάντα λίγο πιο κοντά στα δεδομένα από την πραγματική μέση τιμή. Χωρίς αυτήν, η διασπορά του δείγματος θα υποεκτιμούσε κατά μέσο όρο τη διασπορά του πληθυσμού.

Λυμένο παράδειγμα. Για τους 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9: η μέση τιμή είναι 40 ÷ 8 = 5. Τα τετράγωνα των αποκλίσεων είναι 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 και 16, με άθροισμα 32. Η διασπορά του πληθυσμού είναι 32 ÷ 8 = 4, άρα σ = 2. Η διασπορά του δείγματος είναι 32 ÷ 7 ≈ 4,571, άρα s ≈ 2,138.

Ακρίβεια ακόμη και με μεγάλους αριθμούς

Η συντομογραφία των εγχειριδίων Σx² − (Σx)² ÷ n αφαιρεί δύο τεράστιους, σχεδόν ίσους αριθμούς και μπορεί να χάσει όλη της την ακρίβεια, για παράδειγμα με χρονοσφραγίδες ή τιμές γύρω στο ένα δισεκατομμύριο. Το εργαλείο χρησιμοποιεί αντί γι’ αυτήν τον αλγόριθμο του Welford: ενημερώνει τη μέση τιμή και το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων μία τιμή τη φορά, κάτι που κρατά το αποτέλεσμα ακριβές ακόμη και όταν οι τιμές έχουν μεγάλη κοινή μετατόπιση.

Συχνές ερωτήσεις

Τι μου λέει η τυπική απόκλιση;

Μετρά πόσο απέχουν συνήθως οι τιμές από τη μέση τιμή, στην ίδια μονάδα με τα δεδομένα. Μια μικρή τυπική απόκλιση σημαίνει ότι οι τιμές είναι σφιχτά συγκεντρωμένες· μια μεγάλη σημαίνει ότι είναι διάσπαρτες. Για δεδομένα με περίπου καμπανοειδή κατανομή, περίπου το 68% των τιμών βρίσκεται μέσα σε μία τυπική απόκλιση από τη μέση τιμή.

Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα στη διασπορά και στην τυπική απόκλιση;

Η διασπορά είναι η μέση τετραγωνική απόκλιση, άρα η μονάδα της είναι στο τετράγωνο (cm², €²). Η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική της ρίζα, που την επαναφέρει στη μονάδα των δεδομένων και τη διευκολύνει στην ερμηνεία.

Γιατί δεν υπάρχει τυπική απόκλιση δείγματος για μία μόνο τιμή;

Ο τύπος του δείγματος διαιρεί με n − 1, που είναι μηδέν όταν n = 1. Μία τιμή δεν λέει τίποτα για τη διασπορά, γι’ αυτό το εργαλείο δείχνει τις τιμές του πληθυσμού (και τις δύο μηδέν) και αφήνει κενές εκείνες του δείγματος.

Μπορεί η τυπική απόκλιση να είναι αρνητική;

Όχι. Είναι η τετραγωνική ρίζα ενός μέσου όρου τετραγώνων, άρα είναι πάντα μηδέν ή θετική. Είναι μηδέν μόνο όταν όλες οι τιμές είναι ίδιες.

Γιατί το αποτέλεσμά μου διαφέρει ελάχιστα από την αριθμομηχανή μου;

Ελέγξτε αν η αριθμομηχανή σας δείχνει την εκδοχή του δείγματος (s, σₙ₋₁) ή του πληθυσμού (σ, σₙ). Τα αποτελέσματα εδώ εμφανίζονται με έως 10 σημαντικά ψηφία.