Αριθμομηχανή Πυθαγορείου θεωρήματος

Q: Μπορώ να βρω μια κάθετη πλευρά αντί για την υποτείνουσα;

Ναι. Αφήστε κενό το πεδίο Κάθετη πλευρά α ή Κάθετη πλευρά β και συμπληρώστε την άλλη κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα. Το εργαλείο υπολογίζει το √ γ² − β² ή το √ γ² − α² .

Q: Τι είναι η πρωταρχική πυθαγόρεια τριάδα;

Είναι μια τριάδα ακεραίων χωρίς κοινό διαιρέτη, όπως η 3 4 5 ή η 5 12 13. Κάθε άλλη τριάδα είναι ακέραιο πολλαπλάσιο μιας πρωταρχικής.

Αριθμομηχανή Πυθαγορείου θεωρήματος που βρίσκει την υποτείνουσα ή μια κάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου, με ακριβείς ρίζες, βήματα και σχήμα.

Κάθετη πλευρά α Κάθετη πλευρά β Υποτείνουσα γ Μονάδα

Συμπληρώστε δύο πλευρές και αφήστε κενή την άγνωστη. Γίνονται δεκτοί ακέραιοι, δεκαδικοί (2,5) και κλάσματα (3/2).

Ορθογώνιο τρίγωνο σχεδιασμένο υπό κλίμακα

Πλευρά που λείπει

–

Εμβαδόν: –
Περίμετρος: –
Γωνία α (απέναντι από την α): –
Γωνία β (απέναντι από τη β): –

Βήμα προς βήμα

Πώς να χρησιμοποιήσετε την αριθμομηχανή Πυθαγορείου θεωρήματος

Πληκτρολογήστε τις δύο πλευρές που γνωρίζετε στα πεδία Κάθετη πλευρά α, Κάθετη πλευρά β και Υποτείνουσα γ και αφήστε κενή την πλευρά που ψάχνετε. Μπορείτε να γράψετε ακέραιους, δεκαδικούς όπως 2,5 ή κλάσματα όπως 3/2.
Προαιρετικά, επιλέξτε μια Μονάδα (mm, cm, m, km, in, ft, yd ή mi). Προστίθεται μόνο στις απαντήσεις· ο υπολογισμός είναι ο ίδιος.
Η απάντηση εμφανίζεται καθώς πληκτρολογείτε (το κουμπί Υπολογισμός κάνει το ίδιο). Η Πλευρά που λείπει δείχνει τη δεκαδική τιμή και η Ακριβής τιμή δείχνει την απλοποιημένη ρίζα όταν η πλευρά δεν είναι ακέραιος ή πεπερασμένος δεκαδικός, για παράδειγμα 5√2.
Από κάτω βρίσκετε το Εμβαδόν, την Περίμετρο και τις δύο οξείες γωνίες, μια σημείωση που λέει αν οι τρεις πλευρές αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα και ολόκληρη την επίλυση στο Βήμα προς βήμα.
Το σχήμα δεξιά ξανασχεδιάζει το τρίγωνο υπό κλίμακα, με την άγνωστη πλευρά διακεκομμένη και τονισμένη. Η Αντιγραφή αντιγράφει την απάντηση· η Εκκαθάριση αδειάζει τα τρία πεδία.

Ο υπολογισμός γίνεται στο πρόγραμμα περιήγησής σας και τίποτα από όσα πληκτρολογείτε δεν στέλνεται σε διακομιστή.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία είναι η υποτείνουσα γ, πάντα η μεγαλύτερη πλευρά. Οι δύο άλλες πλευρές, α και β, είναι οι κάθετες πλευρές. Το θεώρημα λέει ότι

α² + β² = γ²

Το τετράγωνο που χτίζεται πάνω στην υποτείνουσα έχει το ίδιο εμβαδόν με τα δύο τετράγωνα πάνω στις κάθετες πλευρές μαζί. Αν λύσετε τον τύπο ως προς κάθε πλευρά, παίρνετε:

υποτείνουσα: γ = √(α² + β²)
κάθετη πλευρά: α = √(γ² − β²) ή β = √(γ² − α²)

Επειδή η κάθετη πλευρά βρίσκεται με αφαίρεση, η υποτείνουσα πρέπει να είναι αυστηρά μεγαλύτερη από τη γνωστή κάθετη πλευρά. Αν δεν είναι, δεν υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο και το εργαλείο σας το λέει.

Ακριβείς απαντήσεις με τετραγωνικές ρίζες

Το εργαλείο δουλεύει με ακριβή κλάσματα, ώστε να δίνει την απάντηση σε απλοποιημένη μορφή ρίζας και όχι μόνο ως στρογγυλοποιημένο δεκαδικό. Με κάθετες πλευρές 5 και 5, γ² = 25 + 25 = 50 και, αφού 50 = 5² × 2, γ = √50 = 5√2 ≈ 7,0710678. Με κάθετη πλευρά 1 και υποτείνουσα 2, η άλλη κάθετη πλευρά είναι √3 και το εμβαδόν √3/2. Τα κλάσματα αντιμετωπίζονται με τον ίδιο τρόπο: οι κάθετες πλευρές 1/2 και 1/3 δίνουν γ = √13/6.

Η ακριβής μορφή είναι αυτή που συνήθως ζητούν οι καθηγητές στις ασκήσεις γεωμετρίας, ενώ ο δεκαδικός είναι αυτός που χρειάζεστε για να κόψετε μια σανίδα ή να χαράξετε έναν τοίχο. Το εμβαδόν και η περίμετρος δίνονται επίσης με ακρίβεια, για παράδειγμα 10 + 5√2 για την περίμετρο του τριγώνου 5-5.

Πυθαγόρειες τριάδες

Πυθαγόρεια τριάδα είναι ένα σύνολο τριών ακεραίων που ικανοποιούν την α² + β² = γ². Οι πιο γνωστές είναι οι 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 και 7-24-25. Μια τριάδα είναι πρωταρχική όταν οι τρεις αριθμοί δεν έχουν κοινό παράγοντα. Αν πολλαπλασιάσετε μια πρωταρχική τριάδα με οποιονδήποτε ακέραιο, παίρνετε μια άλλη τριάδα: η 6-8-10 είναι 2 × (3-4-5) και η 9-12-15 είναι 3 × (3-4-5). Όταν και οι τρεις πλευρές είναι ακέραιες, το εργαλείο αναφέρει αν αποτελούν πρωταρχική τριάδα ή πολλαπλάσιο μιας πρωταρχικής.

Οι τριάδες είναι χρήσιμες στα εργοτάξια: αν μετρήσετε 3 m κατά μήκος του ενός τοίχου, 4 m κατά μήκος του άλλου και ελέγξετε ότι η διαγώνιος είναι ακριβώς 5 m, επιβεβαιώνετε ότι η γωνία είναι ορθή.

Γωνίες, εμβαδόν και περίμετρος

Όταν γνωρίζετε και τις τρεις πλευρές, τα υπόλοιπα στοιχεία του ορθογωνίου τριγώνου προκύπτουν εύκολα. Το εμβαδόν είναι το μισό του γινομένου των καθέτων πλευρών, α × β ÷ 2. Η περίμετρος είναι α + β + γ. Η οξεία γωνία α, απέναντι από την κάθετη πλευρά α, είναι τοξεφ(α ÷ β), και η άλλη οξεία γωνία είναι β = 90° − α. Για τρίγωνο που δεν είναι ορθογώνιο, χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή τριγώνου γενικής μορφής με τον νόμο των συνημιτόνων.

Συχνές ερωτήσεις

Ποια πλευρά είναι η υποτείνουσα;

Η υποτείνουσα είναι η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία και η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου. Σε αυτό το εργαλείο είναι πάντα η γ· οι α και β είναι οι δύο πλευρές που σχηματίζουν την ορθή γωνία.

Μπορώ να βρω μια κάθετη πλευρά αντί για την υποτείνουσα;

Ναι. Αφήστε κενό το πεδίο Κάθετη πλευρά α ή Κάθετη πλευρά β και συμπληρώστε την άλλη κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα. Το εργαλείο υπολογίζει το √(γ² − β²) ή το √(γ² − α²).

Γιατί παίρνω αποτέλεσμα όπως 5√2 και όχι δεκαδικό;

Το 5√2 είναι η ακριβής τιμή του √50: ο τετραγωνικός παράγοντας 25 βγαίνει από τη ρίζα. Εμφανίζεται και ο στρογγυλοποιημένος δεκαδικός, ώστε να χρησιμοποιήσετε όποιον χρειάζεστε.

Γιατί λέει ότι η υποτείνουσα πρέπει να είναι μεγαλύτερη;

Η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι πάντα μεγαλύτερη από κάθε κάθετη πλευρά, επειδή το γ² = α² + β² είναι μεγαλύτερο από το α² και το β². Αν οι αριθμοί που πληκτρολογήσατε παραβιάζουν τον κανόνα, δεν μπορούν να περιγράφουν ορθογώνιο τρίγωνο.

Αλλάζει η μονάδα το αποτέλεσμα;

Όχι. Η μονάδα είναι μόνο μια ετικέτα που προστίθεται στα μήκη και στο εμβαδόν (για παράδειγμα cm²). Όλες οι πλευρές πρέπει να είναι στην ίδια μονάδα.

Τι είναι η πρωταρχική πυθαγόρεια τριάδα;

Είναι μια τριάδα ακεραίων χωρίς κοινό διαιρέτη, όπως η 3-4-5 ή η 5-12-13. Κάθε άλλη τριάδα είναι ακέραιο πολλαπλάσιο μιας πρωταρχικής.