Αριθμομηχανή μεταθέσεων και συνδυασμών

Q: Πώς μετρώ τους αναγραμματισμούς μιας λέξης;

Επιλέξτε Μεταθέσεις πολυσυνόλου επαναλαμβανόμενα στοιχεία και πληκτρολογήστε τη λέξη. Τα γράμματα μετρώνται χωρίς να λαμβάνονται υπόψη τα κεφαλαία και το αποτέλεσμα είναι το n! διαιρεμένο με το παραγοντικό της συχνότητας κάθε γράμματος. Η λέξη LETTER δίνει 6! / 2! × 2! = 180.

Q: Πώς υπολογίζω τις πιθανότητες στο λαχείο ή στο Τζόκερ;

Χρησιμοποιήστε συνδυασμούς: ένα λαχείο 6/49 έχει C 49, 6 = 13.983.816 πιθανά δελτία, άρα ένα μεμονωμένο δελτίο έχει πιθανότητα 1 στις 13.983.816 να πετύχει και τους έξι αριθμούς.

Υπολογίστε με ακρίβεια διατάξεις (nPr), συνδυασμούς (nCr), παραγοντικά, επαναλήψεις και αναγραμματισμούς, με τύπους βήμα προς βήμα και λίστα περιπτώσεων.

Τι θα μετρήσετε

Συνολικό πλήθος στοιχείων (n) Στοιχεία που επιλέγονται (r)

Ακέραιοι αριθμοί από 0 έως 10.000.

Αποτέλεσμα

–

Βήμα προς βήμα

Εμφάνιση των περιπτώσεων

Στοιχεία

Χωρίστε τα στοιχεία με κόμματα ή κενά: το n είναι το πλήθος τους και το r λαμβάνεται από το παραπάνω πεδίο. Έως 50 στοιχεία και r ≤ 20· εμφανίζονται οι πρώτες 500 περιπτώσεις.

Πώς να χρησιμοποιήσετε την αριθμομηχανή μεταθέσεων και συνδυασμών

Στο πεδίο Τι θα μετρήσετε επιλέξτε το είδος της μέτρησης: Διατάξεις nPr (έχει σημασία η σειρά), Συνδυασμοί nCr (δεν έχει σημασία η σειρά), Διατάξεις με επανάληψη (n^r), Συνδυασμοί με επανάληψη, Παραγοντικό n!, Μεταθέσεις πολυσυνόλου (επαναλαμβανόμενα στοιχεία) ή Τρίγωνο του Πασκάλ.
Εισαγάγετε το Συνολικό πλήθος στοιχείων (n) και, όταν ζητείται, τα Στοιχεία που επιλέγονται (r). Για πολυσύνολο, πληκτρολογήστε μια λέξη όπως ΜΙΣΙΣΙΠΙ ή τα μεγέθη των ομάδων ίδιων στοιχείων (3 2 1) στο πεδίο Λέξη ή μεγέθη ομάδων.
Το αποτέλεσμα εμφανίζεται καθώς πληκτρολογείτε· το κουμπί Υπολογισμός κάνει το ίδιο, η Εκκαθάριση αδειάζει τα πεδία και η Αντιγραφή αντιγράφει το αποτέλεσμα μαζί με τον συμβολισμό του, για παράδειγμα C(10, 3) = 120.
Το Βήμα προς βήμα δείχνει τον τύπο, τον τύπο με τους δικούς σας αριθμούς, το απλοποιημένο γινόμενο και την τελική τιμή.
Ανοίξτε την ενότητα Εμφάνιση των περιπτώσεων, πληκτρολογήστε τα Στοιχεία σας (για παράδειγμα a, b, c, d) και πατήστε Εμφάνιση για να δείτε τις πραγματικές διατάξεις ή ομάδες. Εμφανίζονται οι πρώτες 500 περιπτώσεις.

Κάθε αποτέλεσμα είναι ακριβής ακέραιος αριθμός, που υπολογίζεται με ακέραιους αυθαίρετης ακρίβειας. Τα n και r μπορούν να φτάσουν το 10.000: το 10.000! έχει 35.660 ψηφία και γράφεται ολόκληρο, μαζί με μια προσέγγιση σε επιστημονική γραφή και το πλήθος των ψηφίων του. Ο υπολογισμός γίνεται στο πρόγραμμα περιήγησής σας και τίποτα από όσα πληκτρολογείτε δεν στέλνεται σε διακομιστή.

Ποιον τύπο να χρησιμοποιήσω;

Δύο ερωτήματα αποφασίζουν: έχει σημασία η σειρά και μπορεί ένα στοιχείο να χρησιμοποιηθεί περισσότερες από μία φορές;

Περίπτωση	Έχει σημασία η σειρά	Τύπος	Παράδειγμα
Χωρίς επανάληψη	ναι	P(n, r) = n! / (n − r)!	βάθρο 3 θέσεων ανάμεσα σε 10 δρομείς: 720
Χωρίς επανάληψη	όχι	C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!)	6 αριθμοί από τους 49: 13.983.816
Με επανάληψη	ναι	n^r	τετραψήφιος κωδικός PIN: 10⁴ = 10.000
Με επανάληψη	όχι	C(n + r − 1, r)	3 μπάλες παγωτό από 5 γεύσεις: 35
Όλα τα στοιχεία, όλα διαφορετικά	ναι	n!	σειρά 5 βιβλίων: 120
Όλα τα στοιχεία, μερικά ίδια	ναι	n! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!)	αναγραμματισμοί της λέξης MISSISSIPPI: 34.650

Η διάταξη είναι μια διατεταγμένη επιλογή: το ΑΒΓ και το ΓΑΒ είναι διαφορετικά. Ο συνδυασμός είναι ένα σύνολο: το {Α, Β, Γ} είναι η ίδια ομάδα με όποια σειρά κι αν γραφεί. Γι’ αυτό ισχύει C(n, r) = P(n, r) / r!: κάθε ομάδα r στοιχείων μπορεί να διαταχθεί με r! τρόπους.

Το τρίγωνο του Πασκάλ

Κάθε αριθμός του τριγώνου του Πασκάλ είναι το άθροισμα των δύο αριθμών που βρίσκονται από πάνω του: C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). Η γραμμή n περιέχει τους C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n), δηλαδή τους συντελεστές του (a + b)ⁿ, και το άθροισμά της είναι 2ⁿ, το πλήθος των υποσυνόλων ενός συνόλου n στοιχείων. Η αριθμομηχανή σχεδιάζει ολόκληρο το τρίγωνο έως τη γραμμή 20 και εμφανίζει μία μόνο γραμμή έως τη γραμμή 200.

Συμβουλές

Η αριθμομηχανή αξιοποιεί τη συμμετρία C(n, r) = C(n, n − r) ώστε ο πολλαπλασιασμός να παραμένει σύντομος: το C(100, 97) υπολογίζεται ως C(100, 3).
Εξ ορισμού 0! = 1, επομένως C(n, 0) = C(n, n) = 1 και P(n, 0) = 1.
Με επανάληψη, το r μπορεί να είναι μεγαλύτερο από το n (ένας κωδικός 6 χαρακτήρων από 2 σύμβολα)· χωρίς επανάληψη, το r δεν πρέπει να ξεπερνά το n.

Συχνές ερωτήσεις

Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα στο nPr και στο nCr;

Το nPr μετρά διατεταγμένες διατάξεις και το nCr αδιάταχτες ομάδες. Η επιλογή προέδρου, γραμματέα και ταμία από 10 άτομα δίνει P(10, 3) = 720· η επιλογή μιας τριμελούς επιτροπής δίνει C(10, 3) = 120, έξι φορές λιγότερα, επειδή κάθε επιτροπή μπορεί να διαταχθεί με 3! = 6 τρόπους.

Πώς μετρώ τους αναγραμματισμούς μιας λέξης;

Επιλέξτε Μεταθέσεις πολυσυνόλου (επαναλαμβανόμενα στοιχεία) και πληκτρολογήστε τη λέξη. Τα γράμματα μετρώνται χωρίς να λαμβάνονται υπόψη τα κεφαλαία και το αποτέλεσμα είναι το n! διαιρεμένο με το παραγοντικό της συχνότητας κάθε γράμματος. Η λέξη LETTER δίνει 6! / (2! × 2!) = 180.

Γιατί η λίστα έχει όριο;

Το πλήθος των περιπτώσεων αυξάνεται εξαιρετικά γρήγορα: μόλις 10 στοιχεία έχουν 3.628.800 διατάξεις. Η λίστα εμφανίζει έως 500 περιπτώσεις, από έως 50 στοιχεία με r έως 20, και αναφέρει πόσες είναι συνολικά.

Πόσο μεγάλοι μπορούν να είναι οι αριθμοί;

Τα n και r φτάνουν το 10.000. Το αποτέλεσμα είναι πάντα ακριβές· πάνω από 15 ψηφία εμφανίζεται επιπλέον μια προσέγγιση όπως 9,33262154 × 10¹⁵⁷ (για το 100!) και το πλήθος των ψηφίων.

Πώς υπολογίζω τις πιθανότητες στο λαχείο ή στο Τζόκερ;

Χρησιμοποιήστε συνδυασμούς: ένα λαχείο 6/49 έχει C(49, 6) = 13.983.816 πιθανά δελτία, άρα ένα μεμονωμένο δελτίο έχει πιθανότητα 1 στις 13.983.816 να πετύχει και τους έξι αριθμούς.