Utilia
Категории ▾
Език: bg ▾

Решаване на линейни уравнения и системи

Решете система линейни уравнения (2×2, 3×3, до 5×5) точно с дроби, всяко действие по метода на Гаус, правило на Крамер и проверка на решението.

Въведете уравнения като 2x + 3y = 7 или 1/2a − b = 0,5. До 5 уравнения и 5 неизвестни; таблицата по-долу следва квадратните системи.

Таблица с коефициентите

Коефициентите вляво, свободните членове след =. Празна клетка се брои за 0.

Решение

–

Как да решите система уравнения с този инструмент

  1. Въведете уравненията си в Уравнения (по едно на ред), например 2x + 3y = 7 и x − y = 1. Неизвестните могат да са произволни букви (x, y, z, a, b…) или имена като x1 и x2. Коефициентите могат да са цели числа, десетични числа (0.5) или дроби (1/2 или (1/2)x), а свободните членове могат да са от двете страни: 3x + 4 = 2x − 1 работи.
  2. Отговорът се появява по време на писането. Реши прави същото, Пример зарежда класическа система 3 × 3, Изчисти изпразва всичко, а Копирай копира решението.
  3. Предпочитате таблица? Отворете Таблица с коефициентите, изберете Размер на таблицата (от 2 × 2 до 5 × 5) и попълнете коефициентите, със свободните членове в стълба след знака =. Празна клетка се брои за 0. Таблицата и уравненията остават синхронизирани.
  4. Прочетете резултата и обясненията под него: Елиминация на Гаус–Жордан с всяко действие върху редовете и матрицата след него, Правило на Крамер за системи 2 × 2 и 3 × 3 и Проверка в първоначалните уравнения.

Всяко изчисление е точно: инструментът работи с дроби, никога със закръглени десетични числа, така че 1/3 си остава 1/3. До дробните отговори се показва и десетично приближение.

Метод на Гаус, стъпка по стъпка

Системата първо се записва като разширена матрица: един ред за всяко уравнение, един стълб за всяко неизвестно и свободните членове след вертикална черта. Три действия върху редовете променят матрицата, без да променят решенията:

  • размяна на два реда (R₁ ↔ R₂);
  • умножение на ред по ненулево число (R₁ → R₁ ÷ 2);
  • прибавяне на кратно на друг ред (R₂ → R₂ − 3R₁).

Инструментът работи стълб по стълб. Избира водещ елемент, като предпочита стойност 1 или −1, за да избегне дроби, разменя го на място, дели реда така, че водещият елемент да стане 1, после нулира останалата част от стълба във всички други редове. Това е вариантът на Гаус–Жордан: накрая матрицата е в редуциран стъпаловиден вид и решението се чете директно от последния стълб.

Едно, никакво или безбройно много решения

  • Едно решение: всяко неизвестно има водещ елемент. Рангът е равен на броя на неизвестните.
  • Няма решение: някой ред става 0 = 5 (нулеви коефициенти, ненулев свободен член). Уравненията си противоречат; при две неизвестни правите са успоредни.
  • Безбройно много решения: някои неизвестни нямат водещ елемент. Те стават свободни параметри (t, s…), а другите неизвестни се изразяват чрез тях, например x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Всяка стойност на t дава едно решение.

Правило на Крамер

За квадратна система Ax = b с det(A) ≠ 0 всяко неизвестно е равно на det(Aᵢ) ÷ det(A), където Aᵢ е A със заместен стълб i със свободните членове. Инструментът показва детерминантите: ad − bc за 2 × 2 и развитие по първия ред за 3 × 3. Когато det(A) = 0, правилото не се прилага, а елиминацията ви казва дали няма решение, или има безбройно много. При по-големи системи елиминацията е много по-бърза, затова правилото на Крамер се показва само до 3 × 3.

Често задавани въпроси

Може ли да реши едно-единствено линейно уравнение?

Да. Въведете едно уравнение като 3x + 4 = 2x − 1 и инструментът дава x = −5. При едно уравнение с две неизвестни дава общото решение с параметър.

Каква големина на система се поддържа?

До 5 уравнения и 5 неизвестни. Броят на уравненията може да е различен от броя на неизвестните; таблицата е за квадратни системи, а текстовото поле приема всякаква форма.

Защо отговорите са дроби?

Защото са точни. Закръглените десетични числа биха натрупвали грешки по време на елиминацията. Десетичната стойност се показва до всяка дроб.

Как да въведа липсващо неизвестно в уравнение?

Просто го пропуснете: x + z = 3 означава, че коефициентът на y е 0. В таблицата оставете клетката празна или въведете 0.

Какво означава рангът?

Рангът е броят на водещите елементи, т.е. броят на независимите уравнения. При n неизвестни ранг n означава едно решение; по-малък ранг означава свободни параметри, освен ако системата е несъвместима.

Мога ли да ползвам запетая за десетичен знак?

По-сигурно е да ползвате точка (0.5). Запетая, следвана от точно три цифри, както в 1,500, се чете като разделител на хилядите; 1,5 се чете като 1.5. За да сложите две уравнения на един ред, разделете ги с точка и запетая.

Сродни инструменти