Квадратно уравнение – корени, дискриминанта и графика

Q: Какво става, ако a = 0?

Тогава уравнението е линейно, bx + c = 0, и инструментът го решава като такова: x = −c / b. Ако и b е 0, или всяко число е решение c = 0 , или няма решение c ≠ 0 .

Q: Защо получавам резултат с i?

Буквата i е имагинерната единица, с i² = −1. Тя се появява, когато дискриминантата е отрицателна: параболата никога не пресича оста x, така че няма реално решение, но има две комплексни.

Q: Мога ли да въвеждам десетични числа или дроби като коефициенти?

Да. Въведете 0,5, 1/3 или −2,25; изчислението остава точно, защото всеки коефициент първо се превръща в дроб.

Q: Колко точни са десетичните стойности?

Точният вид винаги е верен. Десетичните приближения са закръглени до седем значещи цифри, което е достатъчно за домашни и повечето практически нужди.

Q: Как да намеря върха на парабола?

Използвайте h = −b / 2a , после k = f h , което е равно и на −Δ / 4a . Инструментът показва двете формули с вашите числа в решението стъпка по стъпка.

Q: Двойният корен брои ли се веднъж или два пъти?

Като решение на уравнението той е една стойност и се показва веднъж. Като корен на полинома има кратност две, затова разложеният вид съдържа квадрат, например 2 x − 1 ².

Решаване на квадратно уравнение

Решете всяко квадратно уравнение ax² + bx + c = 0 с дискриминанта, точни корени с радикали, комплексни корени, връхен и разложен вид и графика.

Уравнение ax² + bx + c = 0

a b c

Приемат се цели числа, десетични числа и дроби като 1/2. Празно b или c се смята за 0.

Примери

–

Решение стъпка по стъпка

Как се използва решаването на квадратно уравнение

Въведете трите коефициента на ax² + bx + c = 0 в Коефициент a, Коефициент b и Коефициент c. Приемат се цели числа, десетични числа и дроби като 1/2, а празно b или c се смята за 0.
Отговорът се обновява, докато пишете; Реши прави същото. Изчисти изпразва трите полета, а Копирай копира уравнението и решенията му.
Прочетете Решения: всеки корен се показва в точен вид, следван от десетично приближение, когато точната стойност не е кратка десетична дроб.
По-долу инструментът изброява Дискриминанта Δ, Връх, Ос на симетрия, Пресечна точка с оста y, посоката, в която е отворена параболата, и сбора и произведението на корените. Следват трите Видове записване на функцията (стандартен, връхен и разложен) и Графика на параболата.
Решение стъпка по стъпка повтаря цялото изчисление: дискриминанта, квадратен корен от Δ, формула за квадратно уравнение, двата корена, връх, разложен вид и проверка.

Бутоните Примери зареждат типични случаи: два корена цели числа, двоен корен, комплексни корени и ирационални корени.

Формулата за квадратно уравнение и дискриминантата

Квадратното уравнение има вида ax² + bx + c = 0 с a ≠ 0. Решенията му се дават от формулата:

x = (−b ± √Δ) / (2a), където Δ = b² − 4ac

Дискриминантата Δ решава всичко:

Δ > 0: два различни реални корена. Ако Δ е точен квадрат (и коефициентите са рационални), корените са рационални и полиномът се разлага красиво, например x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Δ = 0: един двоен корен, x = −b / (2a). Параболата се допира до оста x във върха си.
Δ < 0: няма реален корен. Квадратният корен от отрицателно число е имагинерен, √Δ = i√|Δ|, така че корените са два комплексно спрегнати, като −1 ± 2i.

Инструментът изчислява с точни дроби, затова никога не губи точност. Когато √Δ не е цяло число, той опростява радикала (√32 = 4√2) и съкращава резултата: x² + 3x + 1 = 0 дава x = (−3 ± √5)/2, а x² − 8 = 0 дава x = ±2√2.

Връхен вид, разложен вид и графика

Връхният вид a(x − h)² + k показва директно върха (h, k), където h = −b / (2a) и k = −Δ / (4a). Правата x = h е оста на симетрия: двата корена са на еднакво разстояние от нея. Когато a > 0, параболата е отворена нагоре и k е нейният минимум; когато a < 0, тя е отворена надолу и k е нейният максимум.

Разложеният вид a(x − x₁)(x − x₂) използва корените. При рационални корени инструментът записва множители с цели числа, например 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Когато Δ < 0, разлагане над реалните числа е невъзможно и инструментът го казва, преди да покаже комплексните множители.

Графиката е начертана в мащаб около върха и корените. Сините точки отбелязват реалните корени, оранжевата точка отбелязва върха, а прекъснатата линия е оста на симетрия.

Като последна проверка инструментът прилага формулите на Виет: x₁ + x₂ = −b/a и x₁ × x₂ = c/a.

Често задавани въпроси

Какво става, ако a = 0?

Тогава уравнението е линейно, bx + c = 0, и инструментът го решава като такова: x = −c / b. Ако и b е 0, или всяко число е решение (c = 0), или няма решение (c ≠ 0).

Защо получавам резултат с i?

Буквата i е имагинерната единица, с i² = −1. Тя се появява, когато дискриминантата е отрицателна: параболата никога не пресича оста x, така че няма реално решение, но има две комплексни.

Мога ли да въвеждам десетични числа или дроби като коефициенти?

Да. Въведете 0,5, 1/3 или −2,25; изчислението остава точно, защото всеки коефициент първо се превръща в дроб.

Колко точни са десетичните стойности?

Точният вид винаги е верен. Десетичните приближения са закръглени до седем значещи цифри, което е достатъчно за домашни и повечето практически нужди.

Как да намеря върха на парабола?

Използвайте h = −b / (2a), после k = f(h), което е равно и на −Δ / (4a). Инструментът показва двете формули с вашите числа в решението стъпка по стъпка.

Двойният корен брои ли се веднъж или два пъти?

Като решение на уравнението той е една стойност и се показва веднъж. Като корен на полинома има кратност две, затова разложеният вид съдържа квадрат, например 2(x − 1)².