Utilia
الفئات ▾
اللغة: ar ▾

حاسبة التباديل والتوافيق

احسب التباديل nPr والتوافيق nCr والمضروب والتكرار وعدد ترتيبات الكلمة بدقة تامة، مع القوانين خطوة بخطوة وقائمة بالحالات.

أعداد صحيحة من 0 إلى 10,000.

النتيجة

–

خطوة بخطوة

اعرض الحالات

افصل العناصر بفواصل أو مسافات: n هو عددها، وr يؤخذ من الحقل أعلاه. 50 عنصرًا كحد أقصى وr ≤ 20؛ وتُعرض أول 500 حالة.

    كيفية استخدام حاسبة التباديل والتوافيق

    1. في ما الذي تريد عدّه، اختر نوع العدّ: التباديل nPr (الترتيب مهم)، أو التوافيق nCr (الترتيب غير مهم)، أو التباديل مع التكرار (n^r)، أو التوافيق مع التكرار، أو المضروب n!، أو تباديل عناصر متكررة (مجموعة متعددة)، أو مثلث باسكال.
    2. أدخل العدد الكلي للعناصر (n)، وعند الطلب عدد العناصر المختارة (r). وفي حالة العناصر المتكررة، اكتب في كلمة أو أحجام المجموعات كلمةً مثل «سلاسل» أو MISSISSIPPI، أو أحجام مجموعات العناصر المتطابقة (3 2 1).
    3. تظهر النتيجة أثناء الكتابة؛ ويؤدي زر احسب الشيء نفسه، ويفرّغ زر مسح الحقول، وينسخ زر نسخ النتيجة مع رمزها، مثل C(10, 3) = 120.
    4. يعرض قسم خطوة بخطوة القانون، ثم القانون بأرقامك، ثم حاصل الضرب المبسّط، ثم القيمة النهائية.
    5. افتح اعرض الحالات، واكتب العناصر (مثل a, b, c, d)، ثم اضغط اعرض لترى الترتيبات أو المجموعات الفعلية. تُعرض أول 500 حالة.

    كل نتيجة عدد صحيح دقيق، يُحسب بأعداد صحيحة غير محدودة الدقة. ويمكن أن يصل n وr إلى 10,000: فالعدد 10,000! يتكون من 35,660 رقمًا ويُكتب كاملًا، مع قيمة تقريبية بالترميز العلمي وعدد أرقامه.

    أي قانون أستخدم؟

    يحسم الأمر سؤالان: هل للترتيب أهمية؟ وهل يمكن استخدام العنصر أكثر من مرة؟

    الحالة الترتيب مهم القانون مثال
    دون تكرار نعم P(n, r) = n! / (n − r)! منصة تتويج لـ 3 من بين 10 عدّائين: 720
    دون تكرار لا C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) 6 أرقام من 49: 13,983,816
    مع التكرار نعم n^r رمز PIN من 4 أرقام: 10⁴ = 10,000
    مع التكرار لا C(n + r − 1, r) 3 كرات من 5 نكهات: 35
    كل العناصر، وكلها مختلفة نعم n! ترتيب 5 كتب: 120
    كل العناصر، وبعضها متطابق نعم n! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!) ترتيبات حروف MISSISSIPPI: ‏34,650

    التبديلة اختيار مرتّب: فـ ABC وCAB مختلفتان. أما التوفيقة فمجموعة: {A, B, C} هي المجموعة نفسها مهما كان الترتيب. لهذا فإن C(n, r) = P(n, r) / r!، لأن كل مجموعة من r عناصر يمكن ترتيبها بـ r! طريقة.

    مثلث باسكال

    كل عدد في مثلث باسكال هو مجموع العددين الواقعين فوقه: C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). ويضم الصف n القيم C(n, 0)، C(n, 1)، …، C(n, n)، وهي معاملات مفكوك (a + b)ⁿ، ومجموعها 2ⁿ، أي عدد المجموعات الجزئية لمجموعة من n عناصر. ترسم الحاسبة المثلث كاملًا حتى الصف 20، وتعرض صفًا واحدًا حتى الصف 200.

    نصائح

    • تستخدم الحاسبة خاصية التماثل C(n, r) = C(n, n − r) لتقصير الضرب: فـ C(100, 97) تُحسب على أنها C(100, 3).
    • ‏0! = 1 بالتعريف، لذا C(n, 0) = C(n, n) = 1 وP(n, 0) = 1.
    • مع التكرار يمكن أن يكون r أكبر من n (رمز من 6 خانات برمزين فقط)؛ أما دون تكرار فلا يجوز أن يتجاوز r قيمة n.

    الأسئلة الشائعة

    ما الفرق بين nPr وnCr؟

    يعدّ nPr الترتيبات المرتبة، ويعدّ nCr المجموعات غير المرتبة. فاختيار رئيس وأمين سر وأمين صندوق من بين 10 أشخاص هو P(10, 3) = 720؛ أما اختيار لجنة من 3 أشخاص فهو C(10, 3) = 120، أي أقل بست مرات، لأن كل لجنة يمكن ترتيبها بـ 3! = 6 طرق.

    كيف أحسب عدد ترتيبات حروف كلمة؟

    اختر تباديل عناصر متكررة (مجموعة متعددة) واكتب الكلمة. تُعدّ الحروف دون تمييز بين الكبيرة والصغيرة، والنتيجة هي n! مقسومًا على مضروب عدد تكرار كل حرف. تعمل الأداة مع الحروف العربية أيضًا: كلمة «سلاسل» تعطي 5! / (2! × 2!) = 30، وكلمة LETTER تعطي 6! / (2! × 2!) = 180. اكتب الكلمة دون تشكيل، لأن كل حركة تُحتسب رمزًا مستقلًا.

    لماذا عرض الحالات محدود؟

    عدد الحالات ينمو بسرعة هائلة: فـ 10 عناصر وحدها لها 3,628,800 ترتيب. لذا تعرض القائمة 500 حالة كحد أقصى، من 50 عنصرًا على الأكثر مع r حتى 20، وتذكر العدد الإجمالي للحالات.

    ما أكبر الأعداد الممكنة؟

    يصل n وr إلى 10,000. والنتيجة دقيقة دائمًا؛ وفوق 15 رقمًا تُعرض أيضًا قيمة تقريبية مثل 9.33262154 × 10¹⁵⁷ (للعدد 100!) مع عدد الأرقام.

    كيف أحسب احتمال الفوز في اليانصيب؟

    استخدم التوافيق: يانصيب 6 من 49 فيه C(49, 6) = 13,983,816 ورقة ممكنة، لذا فاحتمال أن تطابق ورقة واحدة الأرقام الستة كلها هو 1 من 13,983,816.

    أدوات ذات صلة