حاسبة الأعداد المركبة

كيفية استخدام حاسبة الأعداد المركبة

1. اكتب عددًا في خانة العدد المركب z. يمكنك كتابته بالصورة الجبرية (3+4i أو 4i+3 أو -2i أو i أو 5)، أو بالصورة القطبية (5∠53.13° أو 2 cis 45)، أو بالصورة الأسية (2e^(iπ/2)). ويمكن للمهندسين كتابة j بدلًا من i.
2. اختر العملية: جمع: z + w، أو طرح: z − w، أو ضرب: z × w، أو قسمة: z ÷ w، أو قوة: zⁿ، أو جذور z النونية، أو مقياس z وسعته ومرافقه وصوره.
3. املأ الحقل الثاني، وتتغير تسميته حسب العملية: العدد الثاني w للعمليات الأربع الأساسية، والأس n (حقيقي أو مركب) للقوى، ورتبة الجذر n (من 1 إلى 100) للجذور. ويُخفى هذا الحقل إذا أردت خصائص z وحدها.
4. اختر وحدة الزاوية: درجات أو راديان. تُستخدم للإدخال القطبي الذي لا يحمل رمز وحدة، ولكل سعة تظهر في النتائج.
5. تتحدّث النتيجة أثناء الكتابة، ويؤدي زر احسب الشيء نفسه مع رسالة إذا تعذّرت قراءة أحد المدخلات. وينسخ زر نسخ النتيجة، أو قائمة الجذور كاملة.

تحت النتيجة تجد الصورة الجبرية والقطبية والأسية، والمقياس والسعة والمرافق، ثم قسم خطوة بخطوة الذي يعيد الحساب بأرقامك. تبقى الصيغ الرياضية مكتوبة بالرموز اللاتينية ومن اليسار إلى اليمين، كما في الكتب المدرسية.

القواعد وراء كل عملية

للعدد المركب z = a + bi جزء حقيقي a وجزء تخيلي b، حيث i² = −1.

• الجمع والطرح يتمّان جزءًا بجزء: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• الضرب بفكّ الأقواس واستبدال i² بـ −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. مثلًا (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• القسمة بضرب البسط والمقام في مرافق المقسوم عليه، فيصبح المقام عددًا حقيقيًا: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). إذن (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• المقياس والسعة: |z| = √(a² + b²) هو البعد عن نقطة الأصل، والسعة θ = atan2(b, a) هي الزاوية مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي. تعطي الأداة السعة الرئيسية بين −180° و180° (بين −π وπ). وسعة الصفر غير معرّفة.
• المرافق: z̄ = a − bi، وهو انعكاس العدد حول المحور الحقيقي، وz × z̄ = |z|².

الصورتان القطبية والأسية

يمكن كتابة أي عدد مركب غير صفري على الصورة z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ)، حيث r = |z|. وللعودة: a = r cos θ وb = r sin θ. تستخدم الصورة الأسية الراديان دائمًا، لأن صيغة أويلر e^(iθ) = cos θ + i sin θ لا تصح إلا إذا كانت θ بالراديان. وفي الإدخال القطبي يمكنك فرض الوحدة بكتابة ° أو rad، أو باستعمال π: فـ 2∠π/2 يساوي 2i أيًا كانت الوحدة المختارة.

القوى والجذور

للأس الصحيح، تعطي صيغة دي موافر zⁿ = rⁿ∠(nθ): ارفع المقياس إلى القوة واضرب الزاوية في n. وتحسب الأداة النتيجة أيضًا بالضرب المتكرر، فيخرج (1 + i)⁸ مساويًا 16 تمامًا. أما للأس الكسري أو المركب فتستخدم الفرع الرئيسي z^w = e^(w·Log z) حيث Log z = ln r + iθ، ولهذا يكون i^i ≈ 0.2079، وهو عدد حقيقي.

لكل عدد غير صفري n جذرًا نونيًا مختلفًا بالضبط. تشترك كلها في المقياس ⁿ√r، وزواياها (θ + k × 360°) / n حيث k = 0 … n − 1، فتتوزع بانتظام على دائرة. الجذور التكعيبية لـ −8 هي 1 + 1.732i و−2 و1 − 1.732i، والأول منها (k = 0) هو الجذر الرئيسي.