Калкулатор за комплексни числа

Как да използвате калкулатора за комплексни числа

1. Въведете число в Комплексно число z. Можете да го запишете в алгебричен вид (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), в полярен вид (5∠53.13° или 2 cis 45) или в експоненциален вид (2e^(iπ/2)). Инженерите могат да пишат j вместо i.
2. Изберете Действие: Събиране: z + w, Изваждане: z − w, Умножение: z × w, Деление: z ÷ w, Степен: zⁿ, n-ти корени на z или Модул, аргумент, спрегнато и видове запис на z.
3. Попълнете второто поле. Етикетът му следва действието: Второ число w за четирите основни действия, Показател n (реален или комплексен) за степени и Степен на корена n (от 1 до 100) за корени. Полето е скрито, когато искате само свойствата на z.
4. Изберете Мерна единица за ъгъл, Градуси или Радиани. Тя се ползва за полярен запис без символ за единица и за всеки аргумент в резултатите.
5. Резултатът се обновява по време на въвеждането; Изчисли прави същото и показва съобщение, ако даден запис не може да бъде прочетен. Копирай копира резултата или целия списък от корени.

Под резултата получавате алгебричния, полярния и експоненциалния вид, модула, аргумента и спрегнатото число, следвани от раздел Стъпка по стъпка, който повтаря изчислението с вашите числа.

Правилата зад всяко действие

Комплексното число z = a + bi има реална част a и имагинерна част b, където i² = −1.

• Събирането и изваждането се извършват по части: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Умножението разкрива скобите и заменя i² с −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Например (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Делението умножава числителя и знаменателя по спрегнатото на делителя, което прави знаменателя реален: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Така (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Модул и аргумент: |z| = √(a² + b²) е разстоянието до началото, а аргументът θ = atan2(b, a) е ъгълът с положителната реална ос. Инструментът дава главния аргумент, между −180° и 180° (−π и π). Аргументът на 0 е недефиниран.
• Спрегнато число: z̄ = a − bi, огледалният образ спрямо реалната ос. z × z̄ = |z|².

Полярен и експоненциален вид

Всяко ненулево комплексно число може да се запише като z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), където r = |z|. В обратна посока a = r cos θ и b = r sin θ. Експоненциалният вид винаги ползва радиани, защото формулата на Ойлер e^(iθ) = cos θ + i sin θ е вярна само при θ в радиани. При полярен вход можете да наложите единицата с ° или rad, или да ползвате π: 2∠π/2 е 2i независимо от избраната единица.

Степени и корени

При цял показател формулата на Моавър дава zⁿ = rⁿ∠(nθ): повдигате модула на степен и умножавате ъгъла. Инструментът изчислява резултата и чрез многократно умножение, така че (1 + i)⁸ излиза точно 16. При дробен или комплексен показател се ползва главният клон z^w = e^(w·Log z), където Log z = ln r + iθ. Така i^i ≈ 0,2079 – реално число.

Ненулевото число има точно n различни n-ти корена. Те имат общ модул ⁿ√r, а ъглите им са (θ + k × 360°) / n за k = 0 … n − 1, така че са разположени равномерно върху окръжност. Кубичните корени на −8 са 1 + 1,732i, −2 и 1 − 1,732i. Първият (k = 0) е главният корен.