Αριθμομηχανή μιγαδικών αριθμών

Πώς να χρησιμοποιήσετε την αριθμομηχανή μιγαδικών αριθμών

1. Πληκτρολογήστε έναν αριθμό στο Μιγαδικός αριθμός z. Μπορείτε να τον γράψετε σε καρτεσιανή μορφή (3+4i, 4i+3, -2i, i, 5), σε πολική μορφή (5∠53,13° ή 2 cis 45) ή σε εκθετική μορφή (2e^(iπ/2)). Οι μηχανικοί μπορούν να γράφουν j αντί για i.
2. Επιλέξτε την Πράξη: Πρόσθεση: z + w, Αφαίρεση: z − w, Πολλαπλασιασμός: z × w, Διαίρεση: z ÷ w, Δύναμη: zⁿ, n-οστές ρίζες του z ή Μέτρο, όρισμα, συζυγής και μορφές του z.
3. Συμπληρώστε το δεύτερο πεδίο. Η ετικέτα του αλλάζει ανάλογα με την πράξη: Δεύτερος αριθμός w για τις τέσσερις βασικές πράξεις, Εκθέτης n (πραγματικός ή μιγαδικός) για τις δυνάμεις και Τάξη ρίζας n (1 έως 100) για τις ρίζες. Το πεδίο κρύβεται όταν θέλετε μόνο τις ιδιότητες του z.
4. Διαλέξτε τη Μονάδα γωνίας, Μοίρες ή Ακτίνια. Χρησιμοποιείται για πολική είσοδο χωρίς σύμβολο μονάδας και για κάθε όρισμα στα αποτελέσματα.
5. Το αποτέλεσμα ενημερώνεται καθώς πληκτρολογείτε· το κουμπί Υπολογισμός κάνει το ίδιο και εμφανίζει μήνυμα αν κάποια καταχώριση δεν μπορεί να διαβαστεί. Η Αντιγραφή αντιγράφει το αποτέλεσμα ή ολόκληρη τη λίστα των ριζών. Στα ελληνικά το δεκαδικό σύμβολο είναι το κόμμα (2,5)· δεκτή είναι και η τελεία.

Κάτω από το αποτέλεσμα βλέπετε την καρτεσιανή, την πολική και την εκθετική μορφή, το μέτρο, το όρισμα και τον συζυγή, και ακολουθεί η ενότητα Βήμα προς βήμα, που επαναλαμβάνει τον υπολογισμό με τους αριθμούς σας.

Οι κανόνες πίσω από κάθε πράξη

Ένας μιγαδικός αριθμός z = a + bi έχει πραγματικό μέρος a και φανταστικό μέρος b, με i² = −1.

• Πρόσθεση και αφαίρεση γίνονται μέρος προς μέρος: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
• Πολλαπλασιασμός: αναπτύσσουμε τις παρενθέσεις και αντικαθιστούμε το i² με −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Για παράδειγμα, (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
• Διαίρεση: πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τον συζυγή του διαιρέτη, ώστε ο παρονομαστής να γίνει πραγματικός: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Έτσι (3 + 4i) / (1 − 2i) = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.
• Μέτρο και όρισμα: το |z| = √(a² + b²) είναι η απόσταση από την αρχή των αξόνων και το όρισμα θ = atan2(b, a) είναι η γωνία με τον θετικό πραγματικό άξονα. Το εργαλείο δίνει το πρωτεύον όρισμα, ανάμεσα σε −180° και 180° (−π και π). Το όρισμα του 0 είναι απροσδιόριστο.
• Συζυγής: z̄ = a − bi, το είδωλο ως προς τον πραγματικό άξονα. Ισχύει z × z̄ = |z|².

Πολική και εκθετική μορφή

Κάθε μη μηδενικός μιγαδικός αριθμός γράφεται z = r(cos θ + i sin θ) = r∠θ = r·e^(iθ), με r = |z|. Στην αντίστροφη πορεία, a = r cos θ και b = r sin θ. Η εκθετική μορφή χρησιμοποιεί πάντα ακτίνια, επειδή ο τύπος του Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ ισχύει μόνο με θ σε ακτίνια. Στην πολική είσοδο μπορείτε να επιβάλετε τη μονάδα με ° ή rad ή να χρησιμοποιήσετε το π: το 2∠π/2 είναι 2i όποια μονάδα κι αν έχετε επιλέξει.

Δυνάμεις και ρίζες

Για ακέραιο εκθέτη, ο τύπος De Moivre δίνει zⁿ = rⁿ∠(nθ): υψώνουμε το μέτρο στη δύναμη και πολλαπλασιάζουμε τη γωνία. Το εργαλείο υπολογίζει το αποτέλεσμα και με επαναλαμβανόμενο πολλαπλασιασμό, οπότε το (1 + i)⁸ βγαίνει ακριβώς 16. Για κλασματικό ή μιγαδικό εκθέτη χρησιμοποιεί τον πρωτεύοντα κλάδο z^w = e^(w·Log z), με Log z = ln r + iθ. Έτσι προκύπτει ότι i^i ≈ 0,2079, ένας πραγματικός αριθμός.

Ένας μη μηδενικός αριθμός έχει ακριβώς n διακριτές n-οστές ρίζες. Έχουν κοινό μέτρο ⁿ√r και γωνίες (θ + k × 360°) / n για k = 0 … n − 1, άρα βρίσκονται ισαπέχουσες πάνω σε κύκλο. Οι κυβικές ρίζες του −8 είναι 1 + 1,732i, −2 και 1 − 1,732i. Η πρώτη (k = 0) είναι η πρωτεύουσα ρίζα.