Zahlensystem-Umrechner

So rechnen Sie eine Zahl in ein anderes Zahlensystem um

1. Geben Sie den Wert unter „Umzurechnende Zahl“ ein. Sie können ihn mit Präfix (0x, 0b, 0o), mit Leerzeichen oder Unterstrichen zwischen Zifferngruppen, mit Minuszeichen und mit einem Nachkommaanteil einfügen.
2. Wählen Sie die „Eingabebasis“. Die vier gängigen Basen sind benannt, verfügbar ist jede Basis von 2 bis 36.
3. Wählen Sie eine „Zusätzliche Ausgabebasis“, wenn Sie noch etwas Ausgefallenes brauchen, etwa Basis 36 für kurze IDs oder Basis 3 für ein Rätsel.
4. Die Tabelle „Ergebnisse“ aktualisiert sich beim Tippen. Mit „Ziffern gruppieren“ fügen Sie bei Binär- und Hexzahlen alle 4 Ziffern, bei Oktal- und Dezimalzahlen alle 3 Ziffern ein Leerzeichen ein. Jede Zeile hat eine eigene Kopierschaltfläche, die die Ziffern ohne Leerzeichen kopiert.

Die gesamte Berechnung verwendet JavaScript-BigInt, eine nennenswerte Größenbeschränkung gibt es also nicht: Selbst eine 200-stellige Dezimalzahl wird exakt umgerechnet, ohne die Rundungsfehler gewöhnlicher Gleitkommazahlen.

So funktionieren Zahlensysteme

In einem Stellenwertsystem wird jede Ziffer mit einer Potenz der Basis multipliziert. Im Dezimalsystem bedeutet 255 also 2×10² + 5×10¹ + 5×10⁰. Im Binärsystem (Basis 2) ist derselbe Wert 11111111, im Oktalsystem (Basis 8) 377 und im Hexadezimalsystem (Basis 16) FF. Basen über 10 verwenden Buchstaben: A = 10, B = 11 … Z = 35. Deshalb ist 36 die größte Basis mit dem üblichen Ziffernvorrat.

Hexadezimal ist bei Programmierern beliebt, weil eine Hexziffer genau vier Bits entspricht: FF ist 1111 1111. Oktal fasst Bits zu Dreiergruppen zusammen – deshalb werden Unix-Rechte wie 755 oktal geschrieben.

Schritt für Schritt

Der Abschnitt „Schritt für Schritt“ zeigt den Rechenweg, praktisch für Hausaufgaben und Prüfungen:

• Basis N → dezimal schreibt die Stellenwerte des ganzzahligen Teils aus, zum Beispiel 1011₂ = 1×2³ + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 2 + 1 = 11.
• Dezimal → binär teilt immer wieder durch 2. Die Reste, vom letzten zum ersten gelesen, sind die Binärziffern.
• Beim Nachkommaanteil multipliziert das Tool wiederholt mit 2: Jeder ganzzahlige Teil (0 oder 1) wird zur nächsten Binärziffer nach dem Komma. 0,625 ergibt 1,25 → 1, 0,5 → 0, 1,0 → 1, also 0,625 = 0,101₂.

Brüche ohne Ende

Manche Brüche haben in einer anderen Basis keine endliche Darstellung. 0,1 im Dezimalsystem ist binär 0,0001100110011… und wiederholt sich endlos – deshalb ergibt 0.1 + 0.2 in den meisten Programmiersprachen nicht exakt 0,3. Das Tool rechnet Brüche exakt als Verhältnisse und bricht nach „Max. Nachkommastellen“ ab. Muss es ein Ergebnis abschneiden, steht das in der Zeile, sodass Sie immer wissen, ob ein Wert exakt ist.

Zweierkomplement

Computer speichern negative Ganzzahlen im Zweierkomplement: Bei einer n-Bit-Ganzzahl wird −x als 2ⁿ − x gespeichert. Die Tabelle „Zweierkomplement (vorzeichenbehaftete Ganzzahlen)“ zeigt Bitmuster und Hexwert für 8, 16, 32 und 64 Bit und wie dasselbe Muster in den Spalten „Als vorzeichenlos gelesen“ und „Als vorzeichenbehaftet gelesen“ interpretiert wird. So ist −1 in 8 Bit 11111111 (FF), und 200, eingegeben als vorzeichenloses Byte, ergibt als vorzeichenbehaftetes Byte −56. Liegt ein Wert außerhalb des Bereichs einer Breite (−128 bis 255 bei 8 Bit), steht in der Zeile „Passt nicht“.