محول الأنظمة العددية

كيف تحوّل عددًا إلى أساس آخر؟

1. اكتب القيمة في حقل العدد المراد تحويله. يمكنك لصقها مع بادئة (0x أو 0b أو 0o)، ومع مسافات أو شرطات سفلية بين مجموعات الأرقام، ومع إشارة سالبة، ومع جزء كسري بعد النقطة.
2. اختر أساس الإدخال. الأسس الأربعة الشائعة لها أسماء، وكل أساس من 2 إلى 36 متاح.
3. اختر أساس إخراج إضافي إن احتجت إلى أساس غير مألوف، مثل الأساس 36 للمعرّفات القصيرة أو الأساس 3 لحل لغز.
4. يتحدّث جدول النتائج أثناء الكتابة. فعّل تجميع الأرقام أو ألغِه لإضافة مسافة كل 4 أرقام في الثنائي والست عشري وكل 3 أرقام في الثماني والعشري. لكل صف زر نسخ خاص به ينسخ الأرقام دون مسافات.

تعتمد الأداة في كل الحسابات على BigInt في JavaScript، فلا يوجد حد عملي لحجم العدد: عدد عشري من 200 رقم يُحوَّل بدقة تامة، دون التقريب الذي تسببه أعداد الفاصلة العائمة العادية.

كيف تعمل الأنظمة العددية؟

في النظام الموضعي يُضرب كل رقم في قوة من قوى الأساس. في النظام العشري يعني العدد 255 القيمة 2×10² + 5×10¹ + 5×10⁰. والقيمة نفسها تُكتب 11111111 في النظام الثنائي (الأساس 2)، و377 في الثماني (الأساس 8)، وFF في الست عشري (الأساس 16). الأسس الأكبر من 10 تستخدم الحروف: A = 10 وB = 11 … وZ = 35، ولهذا يكون 36 أكبر أساس بمجموعة الأرقام المعتادة.

يفضّل المبرمجون النظام الست عشري لأن رقمًا ست عشريًا واحدًا يساوي أربع بتات تمامًا: FF هي 1111 1111. أما النظام الثماني فيجمع البتات ثلاثًا ثلاثًا، ولهذا تُكتب صلاحيات Unix مثل 755 بالنظام الثماني.

خطوة بخطوة

يعرض قسم خطوة بخطوة طريقة الحل، وهو مفيد للواجبات والامتحانات:

• الأساس N ← عشري يكتب القيم المكانية للجزء الصحيح، مثل 1011₂ = 1×2³ + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 2 + 1 = 11.
• عشري ← ثنائي يقسم على 2 مرة بعد مرة، والبواقي المقروءة من الأخير إلى الأول هي أرقام العدد الثنائي.
• للجزء الكسري تضرب الأداة في 2 بشكل متكرر، فيصبح كل جزء صحيح (0 أو 1) الرقم الثنائي التالي بعد النقطة. العدد 0.625 يعطي 1.25 ← 1، ثم 0.5 ← 0، ثم 1.0 ← 1، إذن 0.625 = 0.101₂.

كسور لا تنتهي

بعض الكسور ليس لها تمثيل منتهٍ في أساس آخر. فالعدد 0.1 العشري هو 0.0001100110011… في الثنائي ويتكرر بلا نهاية، ولهذا لا يساوي 0.1 + 0.2 القيمة 0.3 تمامًا في معظم لغات البرمجة. تحسب الأداة الكسور بدقة على هيئة نسب وتتوقف بعد الحد الأقصى لأرقام الكسر. وحين تضطر إلى قطع النتيجة يذكر الصف ذلك، فتعرف دائمًا إن كانت القيمة دقيقة.

المتمم الثنائي

تخزّن الحواسيب الأعداد الصحيحة السالبة بطريقة المتمم الثنائي: في عدد صحيح من n بت يُخزَّن ‎−x على أنه 2ⁿ − x. يعرض جدول المتمم الثنائي (الأعداد الصحيحة ذات الإشارة) نمط البتات والقيمة الست عشرية لأطوال 8 و16 و32 و64 بت، وكيف يُقرأ النمط نفسه في عمودي القراءة دون إشارة والقراءة بإشارة. فمثلًا ‎−1 هو 11111111 (FF) في 8 بتات، والعدد 200 المُدخل بايتًا دون إشارة يُقرأ ‎−56 بايتًا بإشارة. وحين تقع القيمة خارج مدى الطول (من ‎−128 إلى 255 في 8 بتات) يذكر الصف لا يتسع.